Решето Эратосфена: просеиваем простые числа | OTUS
🔥 BLACK FRIDAY!
Максимальная скидка -25% на всё. Успейте начать обучение по самой выгодной цене.
Выбрать курс

Курсы

Программирование
iOS Developer. Basic
-25%
Python Developer. Professional
-25%
Разработчик на Spring Framework
-25%
Golang Developer. Professional
-25%
Python Developer. Basic
-25%
iOS Developer. Professional
-25%
Highload Architect
-25%
JavaScript Developer. Basic
-25%
Kotlin Backend Developer
-25%
JavaScript Developer. Professional
-25%
Android Developer. Basic
-25%
Unity Game Developer. Basic
-25%
Разработчик C#
-25%
Программист С Web-разработчик на Python Алгоритмы и структуры данных Framework Laravel PostgreSQL Reverse-Engineering. Professional CI/CD Vue.js разработчик VOIP инженер Программист 1С Flutter Mobile Developer Супер - интенсив по Kubernetes Symfony Framework Advanced Fullstack JavaScript developer Супер-интенсив "Azure для разработчиков"
Инфраструктура
Мониторинг и логирование: Zabbix, Prometheus, ELK
-25%
DevOps практики и инструменты
-25%
Архитектор сетей
-25%
Инфраструктурная платформа на основе Kubernetes
-25%
Супер-интенсив «IaC Ansible»
-16%
Разработчик программных роботов (RPA) на базе UiPath и PIX
-25%
Супер-интенсив "SQL для анализа данных"
-16%
Базы данных Сетевой инженер AWS для разработчиков Cloud Solution Architecture Разработчик голосовых ассистентов и чат-ботов Внедрение и работа в DevSecOps Администратор Linux. Виртуализация и кластеризация Нереляционные базы данных Супер-практикум по использованию и настройке GIT IoT-разработчик Супер-интенсив «ELK»
Специализации Курсы в разработке Подготовительные курсы
+7 499 938-92-02

Решето Эратосфена: просеиваем простые числа

Algo_deep_1.04_Site-5020-5f8450.png

Что такое решето Эратосфена, знает сегодня, пожалуй, любой школьник, интересующийся математикой. Но не всякий знает, какова алгоритмическая сложность этого «просеивателя».

Напомним условие задачи

Необходимо найти все простые числа, меньшие или равные заданному числу N.

Запишем в ряд все числа от 1 до N и будем вычёркивать оттуда все числа, кратные двойке, но больше двойки, затем, все числа, кратные тройке, но больше тройки и т. д.

Если число уже вычеркнуто, пропускаем его и переходим к следующему. Так мы продолжаем, пока не дойдем до N. В итоге у нас останутся невычеркнутыми только простые числа.

Почему так?

Потому что оставшиеся числа не делятся ни на что, кроме самих себя и единицы. Это легко доказать методом от противного. Допустим, осталось число n и оно делится на некоторое k, такое, что 1 < k < n. Значит, оно должно было быть вычеркнуто, когда вычёркивали числа, делящиеся на k. А оно у нас не вычеркнулось.

Оптимизации

Можно просеивать только нечётные числа, ибо чётные — заведомо составные. Можно просеивать только числа до √N.

Теперь оценим потребление памяти и вычислительную сложность этого алгоритма

По памяти этот алгоритм требует O(N), потому что размер целевого массива N и никакой дополнительной памяти не используется.

Оценим теперь его вычислительную сложность (интересно, что оптимизации на асимптотическую сложность не влияют, а уменьшают только коэффициент). Для каждого простого p вычёркиваем числа N / p раз. Общее число действий, которые мы производим, равно сумме: 1-20219-3fb712.jpg Примем как данность, что число простых чисел, меньших либо равных N, приблизительно равно N / ln N, следовательно, k-e простое число приблизительно равно k ln k.

Оценим сумму: 2-20219-d0246d.jpg

Оценим новую сумму как интеграл: 3-20219-00449e.jpg

Интересно, знал ли об этом Эратосфен?

Не пропустите новые полезные статьи!

Спасибо за подписку!

Мы отправили вам письмо для подтверждения вашего email.
С уважением, OTUS!

Автор
0 комментариев
Для комментирования необходимо авторизоваться
🎁 Максимальная скидка!
Черная пятница уже в OTUS! Скидка -25% на всё!