В поисках идеального алгоритма сортировки

Когда люди изучают алгоритмы сортировок, у них часто возникает вопрос: а существует ли идеальный алгоритм, который может сортировать всё за линейное время или даже быстрее — за константное? Ответ: не существует и не может существовать.

Почему?

Предположим, у нас есть n-элементов (вектор), которые нужно отсортировать: а1, а2, …, аn.

Любой алгоритм сортировки из любого входного вектора делает отсортированный выходной вектор. Сортировка в данном случае делается путём попарных сравнений элементов друг с другом. Если мы представим процесс сортировки графически, получится так называемое “дерево решений”.

В каждом узле такого дерева будет сравнение между соответствующими элементами. Переход по левому потомку будет соответствовать ситуации, когда аi < аj, переход по правому — когда аi >= аj. Когда дошли до конца дерева, то есть до листовой вершины, — алгоритм окончен, порядок определён.

Чему равна оценка снизу для такого алгоритма? Это количество сравнений, то есть высота дерева решений, причём в его листьях n! перестановок исходных элементов.

Обозначим за h высоту этого дерева. Число листьев для полного дерева высоты h составляет (2h - 1). Единицу отбрасываем, потому что нас интересует только порядок величины.

Таким образом, у нас получается, что для произвольного дерева имеем: n! < 2h

Логарифмируя, получаем: log(n!) < log(2h) ~ h

По формуле Стирлинга log(n!) ~ n * log(n), таким образом: h ~ n * log(n)

Это означает, что сортировка, работающая на сравнениях, не может сортировать быстрее, чем за n * log(n) сравнений.

Хотите задать вопрос? Пишите комментарий!