Математика – точная наука, в которой приходится сталкиваться с различные терминами и элементами. Она может быть тесно связана с IT и программированием. Именно поэтому хорошим разработчиком является тот, кто развивает познания в области точных наук.
Сегодня предстоит разобраться с таким понятием, как вектор. Оно характерно для линейной алгебры, но и в разработке программного обеспечения тоже встречается. Необходимо познакомиться как с определением векторов, так и с операциями над ними.
Предложенная информация ориентирована на широкую публику. Она подойдет для изучения не только математикам и IT-специалистам, но и обычным пользователям и даже школьникам.
Математика и алгебра
Существует наука – математика. Она занимается изучением абстрактных объектов и их взаимосвязей. За счет нее можно научиться:
- вычитать;
- делить;
- складывать;
- умножать.
Математика берет вещественный мир, а затем изучает его абстрактные свойства. Она включает в себя алгебру. Это направление имеет множество определений. Простыми словами – в алгебре вместо конкретных цифр используются буквы для дальнейшего изучения явлений в абстракциях.
Пример: a + b = c и a = c – b. Неизвестно, какие именно значения стоят на местах латинских букв, но общая модель связей и поведения становится ясна. Закон формирования элементов прописан, хоть и в достаточно абстрактной форме. Он подтвержден практикой.
Внутри алгебры имеется направление – линейная алгебра. Именно она занимается изучением векторов и их координат, векторных пространств и иных абстрактных понятий, которые относятся к упорядоченным данным.
В программировании линейная алгебра также используется, например, в Data Science. Применяется при машинном обучении, работе с искусственным интеллектом.
Вектор – это…
Вектор – это некоторый направленный отрезок. «Прямая линия», которая имеет то или иное направление. Она состоит из нескольких точек с координатами (начало и конец).
На плоскости или в пространстве вектор представляет собой отрезок, который имеет направление. Обычно изображается как стрелка с установленными координатами. Она направлена в пространстве и имеет два параметра измерения:
- направление;
- длину.
Вектор – отрезок прямой, который характеризуется численным значением или направлением. Обозначается на письме маленькой (строчной) латинской буквой, над которой рисуется стрелка. Обычно – смотрящая вправо.
Если у вектора есть конкретные координаты и границы, они будут обозначаться двумя прописными латинскими буквами. Над ними тоже ставится стрелка.
Формы записи
Геометрия и математика – точные науки. В них необходимо знать не только определения терминов, но и другие аспекты. Пример – как изображать векторы в том или ином случае.
Что называется вектором, понятно – это направленный отрезок на плоскости или непосредственно в пространстве. Он может быть записан несколькими способами:
- В строку. Наиболее распространенный вариант. В этом случае вектор обозначается одной буквой, над которой ставится черта. Далее открывается круглая скобка и через запятую записываются координаты.
- В столбец. Обозначение самого «направленного отрезка» останется таким же, как и в предыдущем случае. В столбец координаты могут быть записаны как в круглых, так и в квадратных скобках. Допускаются оба варианта.
Такой строгий порядок записи делает так, что каждый числовой набор формирует всего один вектор, а каждый вектор характеризуется исключительно одним набором чисел. Это указывает на то, что при наличии векторных координат перепутать «направленные отрезки» не получится.
Выше можно увидеть способы записи векторов в математике. Перед тем как выполнять векторные операции, сначала необходимо научиться изображать соответствующий элемент и рассмотреть его разновидности более детально.
При изучении такого компонента, как vector, нередко приходится сталкиваться с понятием скаляра. Это одно число, то есть скаляром называется вектор, который включает в себя всего одну координату.
В геометрии
Геометрия требует грамотного изображения векторных величин на плоскости. Здесь ситуация будет меняться в зависимости от количества известных координат.
Скаляр (вектор из одного числа) будет отображаться точкой, поставленной на числовой прямой:
Если vector имеет две известные координаты, он будет отображаться в виде точки, но уже на двумерной координатной плоскости. Числа будут задавать непосредственные координаты в пространстве. Так называется некоторая инструкция, по которой необходимо перемещаться от хвоста к векторной стрелке. Здесь:
- первое число – расстояние по X;
- второе число – расстояние по Y;
- положительное число на X – движение вправо;
- отрицательное число на X – движение влево;
- положительные значения Y – движение вверх;
- отрицательные значения Y – движение вниз.
Вот пример вектора a с координатами -5 и 4:
Векторные элементы из трех величин изображаются на трехмерной плоскости. Принцип формирования точек будет точно таким же, как и в предыдущем случае. Более «крупные» векторы в математике, школьной программе и разработке практически не встречаются. В основном предстоит иметь дело с двумя координатами и осями XY.
Виды
Как изображать изучаемый элемент линейной алгебры в том или ином случае, ясно. Теперь можно выяснить, какими бывают векторы:
- Длина вектора – некоторая величина, которая равна или отлична от нуля. Она определяет длину отрезка, который формирует vector.
- Коллинеарными векторами называются векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых.
- Неколлинеарные векторы – векторы одинаковой длины, но лежащие не на одной или параллельных прямых.
- Нулевой вектор – любая точка на плоскости или в пространстве. Так может быть описан скаляр.
- Сонаправленные – два коллинеарных вектора a и b, у которых совпадают направления. Они обозначаются строчными латинскими буквами со стрелками над ними. Между vectors будут рисоваться две стрелки, смотрящие вверх.
- Противоположно направленные – коллинеарные векторы, у которых не совпадают направления. Изображение – как в случае сонаправленных векторных элементов, но первая стрелка между латинскими буквами смотрит вверх, а вторая – вниз.
- Равные – сонаправленные векторы с одинаковой длиной.
- Противоположные – противоположно направленные векторы, у которых равны длины.
Изучая векторы и действия над ними, необходимо также запомнить понятие угла между векторами. У сонаправленных элементов угол равен нулю градусов, потому что они лежат на одной или параллельных прямых, а также имеют одинаковое направление. У противоположно направленных векторов угол равен 180 градусов. Перпендикулярными будут считаться два вектора, угол между которыми равен 90 градусам.
Основные операции
Теперь, когда основные правила и определения, связанные с «направленными отрезками», изучены, можно более подробно рассмотреть операции над ними. Это простейшие математические действия, используемые для решения различных задач.
Сложение
Для того, чтобы сложить два вектора a и b, нужно из произвольной точки отложить вектор AB, который будет равен a, из нее – BC, равный b. Соединив точку, с которой выходит BC и C, получится отрезок AC. Он отражает сумму исходных данных. Соответствующий принцип называется «правило треугольника».
Рисунок выше наглядно демонстрирует правила сложения векторов. Здесь необходимо хорошо разбираться в их координатах.
Сложение нескольких элементов
За счет предыдущего правила можно найти сумму векторов. Если необходимо сложить три и более «направленных отрезка», допускается применение аналогичного принципа. Для получения суммы требуется прибавлять каждый последующий вектор.
Пример – даны векторы a, b, c, d. Из произвольной точки A на плоскости откладывается отрезок, равный a, от его конца откладывается b, далее по такому же принципу изображаются остальные векторные элементы. Конечная точка последнего отложенного vector – это B, а отрезок AB – сумма всех исходных данных.
Сложение нескольких векторных элементов называется правилом многоугольника:
Вычитание не имеет отдельной схемы действий. Разность векторов a и b – это та же сумма a и b.
Умножение
Способы сложения векторов понятны. В случае с умножением предстоит запомнить несколько правил. Для того, чтобы произвести умножение рассматриваемого элемента на некое число k, нужно запомнить следующее:
- если модуль k больше 1 – vector будет растягиваться в k раз;
- если модуль k больше 0, он меньше 1 – vector сожмется в 1/k раз;
- если k меньше 0 – происходит смена направленности с учетом предыдущих двух принципов;
- если k = 1 – элемент остается прежним;
- если один из множителей является нулевым или числом, равным 0, результатом станет нулевой вектор.
Теперь понятно, как умножать векторные величины. Вот так это будет выглядеть на практике:
Здесь есть vector a и число k = 2, а также vector b и число k = -1/3.
Свойства операций
Сложение векторов через координаты понятно. И ключевые операции над соответствующими элементами тоже. В математике соответствующим действиям присущи некоторые свойства. Часть из них очевидна, а часть предстоит обосновывать геометрически:
- При прибавлении к векторному элементу нулевого никаких изменений не будет.
- Если есть два vectors, которые нужно сложить, их можно отложить от одной точки, а затем получившуюся фигуру дорисовать до параллелограмма. Суммой будет являться получившаяся диагональ.
- Сочетательный закон: (a + b) + c = a + (b + c). Может называться правилом ассоциативности.
- Использование нейтрального элемента при умножении: 1* a = a.
- Любой vector a имеет противоположный –a, для которых равно свойство: a + (-a) = vector 0.
Все эти свойства действий над векторами (сложение, умножение) помогают не только откладывать их на плоскости, но и складывать vectors в произвольном порядке. А еще – производить преобразования координат и векторно-числовых выражений.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
