В школе даются начальные знания по основным наукам. Огромную роль играет математика. Она используется не только при расчетах, но и в программировании.

В данной статье рассмотрена теория чисел. Она является своеобразной «базой», помогающей более подробно рассматривать математические действия и операции. В ней особую роль играют делители чисел. Зная о них, можно достаточно быстро и точно провести большинство операций. Пример – посчитать дроби и выделить грамотно доли.

Определение

Делители чисел – это такие значения, при делении на которые у «первоначального» числового компонента не будет остатка. Является целым в обязательном порядке. Пример – у 21 два делителя: 3 и 7. Проверить это можно по таблице умножения, которая изучается в начальных классах. Других упомянутых компонентов к 21 нет. В остальных случаях при делении будет получаться остаток.

Кратные

С делителями чисел познакомились. Теперь стоит обратить внимание на еще один момент, изучаемый в младших классах. Речь идет о кратных.

Краткое – это ситуация, при которой какое-нибудь значение удалось поделить без остатка на другое. Кратным a будет называться значение, которое без остатка делится на a.

Каждая «цифра» в математике имеет бесконечно много кратных. Пример – 5. Сюда можно отнести: 5, 10, 15, 20, 25, 100, 1005 и так далее. Все они будут без остатка делиться на пятерку.

Простые и составные

В начальных классах учителя говорят, что в математике есть простые числа и составные. Тут необходимо запомнить:

1. Простые – это натуральное число, которое делится только на себя и единицу.
2. Единица не включена в ряд простых.
3. Составное число – это непростой элемент в математике. Единица сюда тоже не включена. Имеет несколько делителей. Согласно информации, подаваемой в начальных классах – больше двух.

Если интересует, сколько делителей у простого заданного числа, ответ будет очевиден – их всего два. И найти таковые проще простого. Эта информация очевидна из самого определения.

Составные числа могут иметь бесконечное количество делителей. Ответить, сколько именно, невозможно – все зависит от конкретной ситуации. Главное – чтобы их в конечном итоге оказалось больше двух.

В программировании найти «простую цифру» достаточно легко. Операция с легкостью проводится за O(N), где N – это проверяемый элемент. Достаточно проверить, будет ли оно делиться без остатка хотя бы на один элемент среди цепочки: 2, 3, 4, …, N-1. В школьных классах соответствующая информация не изучается. Она пригодится непосредственным программистам.

Вот – пример реализации. Этот код нужно просто обработать компилятором и посмотреть на выданные результаты. N – подставить свое значение.

Делимость – признаки

В разных классах начальной школы (иногда – в среднем звене) активно рассматриваются не только делители числа, но и признаки делимости. Эта информация тоже включена в рассматриваемую теорию. Она помогает найти простые делители заданного числа намного быстрее. А еще – понять, простое оно или сложное. Узнать количество делителей, которые имеют числа, будет намного проще.

На десятку

Если «цифра» заканчивается на 0, она может делиться без остатка на 10. Это – правило, которое нужно запомнить в младших классах. Обычно такие элементы относятся к сложным/составным. Об этом учителя говорят еще в начальных классах. Связано это с тем, что «цифра», которая делится на 10, обычно может быть поделена:

• сама на себя;
• на десятку;
• на пятерку.

Из ранее изученных определений следует достоверность последнего утверждения.

Делимость на 5 и 2

Теперь стоит изучить более сложные варианты. Они тоже рассматриваются в начальных классах и позволяют понять, сколько делителей будет у «цифры», заданной в примере. Среди основных знаний, которые нужно освоить в начальной школе, выделяют признаки делимости на двойку и пятерку.

Тут в начальных классах требуется запомнить, что:

1. Любая «цифра», которая заканчивается на 0, делится без остатка на 5 и 2.
2. Если в конце стоит 0 или 5, то возможно деление без остатков на «пятерку».
3. Когда «цифра» заканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 – оно будет делиться на 2. Остаток не предусматривается.

Все это поможет быстрее найти делитель числа в начальных классах. Но есть и иные признаки делимости. Они тоже необходимы для нахождения рассматриваемых элементов.

Согласно установленным правилам, если сумма цифр в заданном элементе делится на 3, то все оно тоже разделяется без остатка на «тройку». Пример – 27. Сумма его составляющих будет равна 9. Оно делится на 3. Отсюда следует, что 27 при делении на «тройку» остатка не образовывается.

Рассматривая делители числа, стоит обратить внимание на еще один признак делимости. Речь идет о 9. Если сумма цифр в заданном компоненте делится на «девятку», то и все оно тоже не образовывает остатка вследствие выполняемых математических манипуляций. Соответствующий принцип тоже изучается в младших классах.

Разложение на множители

Разложение на простые множители – еще одна операция, которая изучается в рассматриваемой теории в начальных классах. Можно провести разложение любого натурального числа, которое входит в заданное выражение им же, но представленном в ином виде. Для этого требуется изучить делители чисел. Они пригодятся в соответствующей операции.

Суть приема заключается в том, что нужно представить «цифру» в виде произведения нескольких простых множителей (делителей заданных чисел). Пример – дана «шестерка». Находим делители этого числа. Справиться с соответствующей задачей сможет ученик младших классов:

• 1;
• 2;
• 3;
• 6.

В поиске натуральных множителей теперь не будет никаких проблем. И в представлении «цифры» соответствующей записью – тоже. Шестерка – это 3*2 и 6*1.

Стоит обратить внимание – согласно правилам, продиктованным математикой в начальных классах, разложить на множители удастся только составную «цифру». У него будет простой делитель натурального заданного числа. Простая заданная «цифра» не подлежит разложению.

Данный вариант разложения – элементарный. Его легко освоить даже в начальных классах, после изучения таблицы умножения. Подходит для небольших «цифр». Когда дело доходит до больших значений, стоит воспользоваться иным методом:

1. Провести вертикальную линию.
2. Слева написать делимые.
3. Справа прописать делители заданного числа.
4. Собрать полученные сведения во множители.

Правила, изучаемые в начальных классах, указывают на то, что тут на помощь приходят признаки делимости.

Выше – пример реализации приема с числом 180.

Правило обнаружения делителей

Чтобы найти простые делители числа, в начальных классах необходимо запомнить следующий принцип (правило):

1. Записать в качестве первого делителя единицу.
2. Исходный элемент разложить на простые множители.
3. Выписать из соответствующих делителей те, на которые без остатка делится заданная изначально «цифра». При повторении повторно записывать его не потребуется.
4. Отыскать все произведения полученных простых множителей между собой.

Полученные ответы – это остальные искомые компоненты. Если этот принцип усвоить в младших классах школы, удастся достаточно быстро разобраться в математике и счете.

Дроби

Ближе к средним классам школьная программа начинает предлагать дроби. Там рассмотренная тема будет особо актуальна. Одно и то же число можно записать десятично (15 – 3*5) и в виде дроби.

У дробей есть:

• числитель – то, что написано над чертой-разделителем;
• знаменатель – нижняя часть записи.

Чтобы в любом классе без проблем привести дроби к общему знаменателю, потребуется:

1. Найти общее кратное знаменателей. Эта запись будет общим знаменателем.
2. Разделить общий знаменатель на знаменатель каждой отдельно взятой дроби. Получится дополнительный множитель.
3. Умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель.

Лишь после этого можно проводить сложение и вычитание дробей. Соответствующая информация пригодится в любом классе школы и даже во взрослой жизни при разнообразных вычислениях.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!