Системы счисления – это символические методы записи чисел. Правила и принципы, позволяющие представлять значения в той или иной форме при помощи специальных письменных символов.
В мире существуют различные системы счисления. С их помощью можно:
- представлять множества целых и вещественных чисел;
- отображать алгебраические и арифметические числовые структуры;
- уникализировать представление каждого имеющегося значения.
С помощью той или иной формы представления числа можно записать его в различных форматах. Пример – бинарная система. Она позволяет записывать числовые значения в форме, понятной компьютерам и другой технике.
Все системы счисления условно делятся на две крупные категории – позиционные и непозиционные. Далее предстоит познакомиться с каждым предложенным вариантом. Особое внимание необходимо уделить непозиционным системам счисления. Они встречаются в реальной жизни и компьютерных устройствах не так часто, как позиционные.
Ключевые понятия
Перед более углубленным изучением непозиционных систем каждый должен запомнить несколько понятий и определений:
- числом называется количество, а цифрой – символьная запись соответствующего количества;
- система счисления – набор цифр и согласованные правила/принципы описания чисел;
- основание системы – количество цифр в ней;
- разряд – индекс цифры, начинающийся с нуля и отсчитываемый «справа-налево»;
- бит – простая (минимальная) единица представления информации в бинарной системе, представленная 0 или 1.
Эти термины и определения помогут лучше разобраться в рассматриваемой теме.
Позиционный вид систем
Позиционная – это система, в которой конкретное значение числа определяется не только цифрами, но и их положением (позицией). Один и тот же числовой знак в записи может иметь разнообразные значения.
Наглядным примером может служить арабская система. В ней первый разряд справа – это единицы, второй разряд отведен под десятки, третий – для отображения сотен и так далее.
В позиционной форме представления число 463 можно представить как:
- 3 единицы;
- 6 десятков;
- 4 сотни.
Сюда можно отнести системы счисления с основаниями 2, 16 и 8. Бинарные (двоичные) формы записи чаще всего используются для обработки данных в информатике и компьютерах.
Непозиционный вид систем
Непозиционные системы счисления – системы, в которых значения чисел не зависят от их позиции (разряда) в записи. Они определяются только знаком (цифрой). Для обозначения единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее используются специальные символьные записи.
Непозиционная система – способ записи чисел при помощи символов. В ней изменение положения знаком никак не отражается на значении величины элемента.
Такая форма представления значений разделяется на несколько видов:
- биномиальную;
- греческую;
- римскую;
- древнеегипетскую;
- вавилонскую;
- систему исчисления Майя;
- остаточных классов.
Далее каждый тип будет рассмотрен более подробно. Особое внимание уделено римской форме представления чисел.
Биномиальная
Число будет представлено в виде некоторой суммы биномиальных коэффициентов. Биномиальные коэффициенты – объединение количества сочетаний, определенное для неотрицательных чисел. Эти обобщения появляются преимущественно в задачах, где требуется перебор всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.
Число X будет представлено в такой форме записей формулой:
Биномиальные числа могут быть:
- Линейными. Они представляют собой последовательность из 0 и 1. Соответствующая форма записи подразумевает наличие двух чисел – количества столбцов в матрице и сумму числа столбцов и строк в ней.
- Матричными. Представляются в виде матриц, элементами которых выступают единицы и нули. В каждом столбце допускается наличие всего одной единицы.
С помощью такой системы получится быстро вычислить нужную комбинацию без предварительного перебора всех вариантов перед ней, организовать тестирование программного обеспечения, контроль качества и анализ проведенных лотерей.
Остаточные классы
Базируются на модулярной арифметике. Здесь числа будут сравниваться друг с другом по модулю на факт выдачи одного и того же остатка. Система остаточных классов не имеет эффективных алгоритмов для сравнения чисел, а также позволяет представлять только ограниченное количество значений.
Здесь используются наборы попарно взаимно простых модулей (m1, m2, …, mn) и произведение M = m1 * m2 * …. * mn так, чтобы каждому целому x из отрезка [0, M-1] был сопоставлен в соответствие набор вычетов (x1, x2, …, xn), где:
Такая непозиционная система широко применяется в информационной безопасности, контроле за ошибками, в военной и космической технике.
Система Майя
В системе исчисления Майя используется запись чисел с основанием 20. Она использовалась древними племенами. В реальной жизни не встречается.
Данный метод исчисления включает в себя нуль и 19 сложных цифр. Ноль обозначался пустой ракушкой, остальные цифры представлены точками и горизонтальными черточками.
Выше можно увидеть систему записи чисел племенами Майя. Она использовалась в календарных расчетах.
Вавилонская
Вавилонская система счисления – позиционный метод записи с основанием 60. Такая концепция использовалась в Древнем Вавилоне. Она является первым известным способом записи шестнадцатеричной системы.
Числа будут записывать справа-налево в порядке убывания. Сначала идут сотни, затем – десятки и единицы. После достижения 60 отмечается новый числовой ряд. Дальнейшая запись чисел осуществляется с единицы.
В качестве цифр в вавилонском методе исчисления использовались клинья различных видов для единиц, десятков и обозначения нуля.
Древнеегипетская
В Древнем Египте все записи, включая числовые, базировались на иероглифах. С их помощью записывались основные значения:
- единица;
- десяток;
- сотня;
- тысяча и так далее.
Остальные значения получались при помощи сложения ключевых чисел. Сначала записывалось число высшего порядка, после него – низшее. Умножение и деление производилось при помощи последовательного удвоения числовых значений. Повторение каждой цифры допускалось до 9 раз.
Таблица, представленная выше, поможет понять, как записывались числовые значения в Древнем Египте.
Греческая
Греческая система счисления – метод, который использует для представления чисел буквы греческого алфавита и некоторые знаки доклассического периода. Данная концепция стала применяться еще в 3 веке до нашей эры.
С помощью греческой системы счисления, пользуясь предложенной выше таблицей, можно записывать числовые значения от 1 до 999.
Римская система счисления
Среди непозиционных систем счисления можно выделить римский метод представления чисел. Он базируется на записи чисел при помощи латинского алфавита. В реальной жизни такая концепция все еще используется, но в основном в печатных издания и декоративных целях: для обозначения цифр на часах, глав книг и так далее.
Записывать числовые значения поможет следующая таблица соответствия:
| Число | Обозначение в римской системе |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Все числовые значения получаются при помощи хитрых комбинаций разнообразных букв-цифр. Их считывание зависит от того, какие именно элементы соседствуют друг с другом.
Общие правила римского метода записи:
- цифры могут повторяться, но не более трех раз подряд;
- если наименьшая цифра стоит справа от такой же или большей, они складываются друг с другом (VIII = 8);
- если меньшая цифра расположена слева от большей, из большего нужно вычесть меньшее (IV = 4).
До появления римской системы счисления вычитание не использовалось. В античности все изменилось, поэтому записи стали приобретать новый вид. Среди них появились комбинации, которые при расчетах используются как единое целое:
- IV – 4;
- IX – 9;
- XL – 40;
- XC – 90;
- CD – 400;
- CM – 900.
Запомнив эти правила, каждый сможет перевести числовое значение в римскую форму записи.
Перевод десятичного числа в римское
Чтобы лучше понимать принципы перевода и работы с римским методом исчисления, рекомендуется рассмотреть наглядный пример. Предстоит выполнить преобразование числа 1998 в десятичной форме. Для этого потребуется:
- Взять самое большое римское число и посмотреть, больше ли оно заданного.
- Если да – вычесть его из римского и записать получившийся результат.
- Если нет – перейти к следующему римскому.
- Проделывать перечисленные операции до тех пор, пока в остатке не получится ноль.
Для перевода 1998 в римскую систему нужно сравнить его сначала с 1000 (M). Оно больше, поэтому нужно выполнить операцию 1998 – 1000. В записи пойдет M. Теперь нужно проверить результат (998) с 1000 (M). Он меньше, поэтому сравнение ведется с 900 (CM). Снова выполняется вычитание: 998 — 900 = 98. Остаток станет уже MCM. Далее сравнение с 90 (XC). После вычитания получится остаток 8 и запись MCMCX.
Меньше числа 8 в римской системе – 5 (V). Остатком станет 3, а результат расчетов – VCVXCV. Остается последовательно добавить три единицы (I) к записи. Результатом станет MCMXCVIII.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям, в том числе и по математике, есть в Otus!
