Системы счисления и их особенности

Системы счисления – это символические методы записи чисел. Правила и принципы, позволяющие представлять значения в той или иной форме при помощи специальных письменных символов.

В мире существуют различные системы счисления. С их помощью можно:

• представлять множества целых и вещественных чисел;
• отображать алгебраические и арифметические числовые структуры;
• уникализировать представление каждого имеющегося значения.

С помощью той или иной формы представления числа можно записать его в различных форматах. Пример – бинарная система. Она позволяет записывать числовые значения в форме, понятной компьютерам и другой технике.

Все системы счисления условно делятся на две крупные категории – позиционные и непозиционные. Далее предстоит познакомиться с каждым предложенным вариантом. Особое внимание необходимо уделить непозиционным системам счисления. Они встречаются в реальной жизни и компьютерных устройствах не так часто, как позиционные.

Ключевые понятия

Перед более углубленным изучением непозиционных систем каждый должен запомнить несколько понятий и определений:

• числом называется количество, а цифрой – символьная запись соответствующего количества;
• система счисления – набор цифр и согласованные правила/принципы описания чисел;
• основание системы – количество цифр в ней;
• разряд – индекс цифры, начинающийся с нуля и отсчитываемый «справа-налево»;
• бит – простая (минимальная) единица представления информации в бинарной системе, представленная 0 или 1.

Эти термины и определения помогут лучше разобраться в рассматриваемой теме.

Позиционный вид систем

Позиционная – это система, в которой конкретное значение числа определяется не только цифрами, но и их положением (позицией). Один и тот же числовой знак в записи может иметь разнообразные значения.

Наглядным примером может служить арабская система. В ней первый разряд справа – это единицы, второй разряд отведен под десятки, третий – для отображения сотен и так далее.

В позиционной форме представления число 463 можно представить как:

• 3 единицы;
• 6 десятков;
• 4 сотни.

Сюда можно отнести системы счисления с основаниями 2, 16 и 8. Бинарные (двоичные) формы записи чаще всего используются для обработки данных в информатике и компьютерах.

Непозиционный вид систем

Непозиционные системы счисления – системы, в которых значения чисел не зависят от их позиции (разряда) в записи. Они определяются только знаком (цифрой). Для обозначения единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее используются специальные символьные записи.

Непозиционная система – способ записи чисел при помощи символов. В ней изменение положения знаком никак не отражается на значении величины элемента.

Такая форма представления значений разделяется на несколько видов:

• биномиальную;
• греческую;
• римскую;
• древнеегипетскую;
• вавилонскую;
• систему исчисления Майя;
• остаточных классов.

Далее каждый тип будет рассмотрен более подробно. Особое внимание уделено римской форме представления чисел.

Биномиальная

Число будет представлено в виде некоторой суммы биномиальных коэффициентов. Биномиальные коэффициенты – объединение количества сочетаний, определенное для неотрицательных чисел. Эти обобщения появляются преимущественно в задачах, где требуется перебор всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.

Число X будет представлено в такой форме записей формулой:

Биномиальные числа могут быть:

1. Линейными. Они представляют собой последовательность из 0 и 1. Соответствующая форма записи подразумевает наличие двух чисел – количества столбцов в матрице и сумму числа столбцов и строк в ней.
2. Матричными. Представляются в виде матриц, элементами которых выступают единицы и нули. В каждом столбце допускается наличие всего одной единицы.

С помощью такой системы получится быстро вычислить нужную комбинацию без предварительного перебора всех вариантов перед ней, организовать тестирование программного обеспечения, контроль качества и анализ проведенных лотерей.

Остаточные классы

Базируются на модулярной арифметике. Здесь числа будут сравниваться друг с другом по модулю на факт выдачи одного и того же остатка. Система остаточных классов не имеет эффективных алгоритмов для сравнения чисел, а также позволяет представлять только ограниченное количество значений.

Здесь используются наборы попарно взаимно простых модулей (m₁, m₂, …, m_n) и произведение M = m₁ * m₂ * …. * m_n так, чтобы каждому целому x из отрезка [0, M-1] был сопоставлен в соответствие набор вычетов (x₁, x₂, …, x_n), где:

Такая непозиционная система широко применяется в информационной безопасности, контроле за ошибками, в военной и космической технике.

Система Майя

В системе исчисления Майя используется запись чисел с основанием 20. Она использовалась древними племенами. В реальной жизни не встречается.

Данный метод исчисления включает в себя нуль и 19 сложных цифр. Ноль обозначался пустой ракушкой, остальные цифры представлены точками и горизонтальными черточками.

Выше можно увидеть систему записи чисел племенами Майя. Она использовалась в календарных расчетах.

Вавилонская

Вавилонская система счисления – позиционный метод записи с основанием 60. Такая концепция использовалась в Древнем Вавилоне. Она является первым известным способом записи шестнадцатеричной системы.

Числа будут записывать справа-налево в порядке убывания. Сначала идут сотни, затем – десятки и единицы. После достижения 60 отмечается новый числовой ряд. Дальнейшая запись чисел осуществляется с единицы.

В качестве цифр в вавилонском методе исчисления использовались клинья различных видов для единиц, десятков и обозначения нуля.

Древнеегипетская

В Древнем Египте все записи, включая числовые, базировались на иероглифах. С их помощью записывались основные значения:

• единица;
• десяток;
• сотня;
• тысяча и так далее.

Остальные значения получались при помощи сложения ключевых чисел. Сначала записывалось число высшего порядка, после него – низшее. Умножение и деление производилось при помощи последовательного удвоения числовых значений. Повторение каждой цифры допускалось до 9 раз.

Таблица, представленная выше, поможет понять, как записывались числовые значения в Древнем Египте.

Греческая

Греческая система счисления – метод, который использует для представления чисел буквы греческого алфавита и некоторые знаки доклассического периода. Данная концепция стала применяться еще в 3 веке до нашей эры.

С помощью греческой системы счисления, пользуясь предложенной выше таблицей, можно записывать числовые значения от 1 до 999.

Римская система счисления

Среди непозиционных систем счисления можно выделить римский метод представления чисел. Он базируется на записи чисел при помощи латинского алфавита. В реальной жизни такая концепция все еще используется, но в основном в печатных издания и декоративных целях: для обозначения цифр на часах, глав книг и так далее.

Записывать числовые значения поможет следующая таблица соответствия:

Число	Обозначение в римской системе
1	I
5	V
10	X
50	L
100	C
500	D
1000	M

Все числовые значения получаются при помощи хитрых комбинаций разнообразных букв-цифр. Их считывание зависит от того, какие именно элементы соседствуют друг с другом.

Общие правила римского метода записи:

• цифры могут повторяться, но не более трех раз подряд;
• если наименьшая цифра стоит справа от такой же или большей, они складываются друг с другом (VIII = 8);
• если меньшая цифра расположена слева от большей, из большего нужно вычесть меньшее (IV = 4).

До появления римской системы счисления вычитание не использовалось. В античности все изменилось, поэтому записи стали приобретать новый вид. Среди них появились комбинации, которые при расчетах используются как единое целое:

• IV – 4;
• IX – 9;
• XL – 40;
• XC – 90;
• CD – 400;
• CM – 900.

Запомнив эти правила, каждый сможет перевести числовое значение в римскую форму записи.

Перевод десятичного числа в римское

Чтобы лучше понимать принципы перевода и работы с римским методом исчисления, рекомендуется рассмотреть наглядный пример. Предстоит выполнить преобразование числа 1998 в десятичной форме. Для этого потребуется:

1. Взять самое большое римское число и посмотреть, больше ли оно заданного.
2. Если да – вычесть его из римского и записать получившийся результат.
3. Если нет – перейти к следующему римскому.
4. Проделывать перечисленные операции до тех пор, пока в остатке не получится ноль.

Для перевода 1998 в римскую систему нужно сравнить его сначала с 1000 (M). Оно больше, поэтому нужно выполнить операцию 1998 – 1000. В записи пойдет M. Теперь нужно проверить результат (998) с 1000 (M). Он меньше, поэтому сравнение ведется с 900 (CM). Снова выполняется вычитание: 998 — 900 = 98. Остаток станет уже MCM. Далее сравнение с 90 (XC). После вычитания получится остаток 8 и запись MCMCX.

Меньше числа 8 в римской системе – 5 (V). Остатком станет 3, а результат расчетов – VCVXCV. Остается последовательно добавить три единицы (I) к записи. Результатом станет MCMXCVIII.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям, в том числе и по математике, есть в Otus!