Математика, физика, геометрия и информатика – это научные области, которые имеют тесную связь. Они встречаются как в обыденной жизни, так и в IT. Для создания ряда приложений и решения некоторых задач необходимо знать логарифмы.

Сегодня предстоит познакомиться с ними поближе. Нужно выяснить, что собой представляет логарифм, для чего он используется, каким может быть. Также необходимо изучить основные виды и свойства этих элементов.

Предложенная ниже информация рассчитана на широкую публику. Она пригодится и школьникам, и специалистам разных областей деятельности, и обычным ПК-пользователям.

Определение

Логарифм (log) – это показатель степени. У возведения в степень имеются два обратных выражения. В первом необходимо найти основание (извлечение из корня), во втором – показатель (логарифмирование).

Логарифм b по основанию a – это показатель степени, в которую нужно возвести a (основание) для непосредственного получения числа b. Обозначается на письменности такая запись как log_ab.

При работе с log необходимо помнить, что основание у него должно быть больше нуля, а также не равно единице. Итоговое число, получаемое после произведения необходимых расчетов, должно оказаться больше нуля.

С помощью соответствующего математического компонента можно без существенного труда сравнивать разнообразные величины. Обычно log используются тогда, когда предполагаемые параметры отличаются друг от друга в несколько раз.

Логарифмическое основание

Основание логарифма – его основная часть. Если оно у нескольких логарифмических функций равно, с ними можно проводить те или иные операции. К данному компоненту выдвигаются некоторые условия:

• основание log должно быть больше нуля;
• логарифмическое основание должно не быть равно единице – это связано с тем, что единица при возведении в любую степень показывает результат «единица».

Это значит, что если при подсчетах степени log результат 0 или 1, что-то сделано не так.

Разновидности

Log бывают разными. В зависимости от вида логарифма могут меняться его особенности. Далее будут представлены существующие логарифмические типы.

Натуральный логарифм

Основная часть любого логарифма – это его основание. Именно по нему проводится классификация log. Первый тип рассматриваемого компонента – натуральный логарифм. Его основанием выступает число Эйлера. Оно обозначается на письме как e.

E приблизительно равно 2,71828. Данное число является иррациональным. В какой-то степени натуральный логарифм может выступать в качестве дробного.

Иррациональные числа – это числа, которые невозможно записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. Знаменатель не должен быть равен нулю. Так, 0,333 приблизительно равняется 1/3, а корень из 2 – иррационален.

Натуральные логарифмы имеют собственную интерпретацию на письменности. Они обозначаются как ln x или log_ex.

Что такое e

Чтобы лучше понимать рассматриваемый компонент и его особенности, нужно разобраться, что собой представляет e. Для этого требуется рассмотреть один наглядный пример.

Пусть будет дан кристалл, который весит 1 килограмм. В год он растет со 100 % скоростью. Ожидается, что через 12 месяцев его вес составит 2 килограмма. На самом деле это не так.

Каждая новая выращенная кристаллическая часть начинает наращивать собственную. Когда в кристалле будет 1,1 килограмм, он начнет расти со скоростью 1,1 килограмм в год, а когда в нем окажется 1,5 кг – со скоростью 1,5 кг/год.

В ходе математических подсчетов выяснилось, что через 12 месяцев кристаллическая масса при условии сохранения описанных параметров и свойств составит e. А именно – 2,71828 килограмм.

Подобный рост носит название экспоненциального. По экспоненте размножаются разнообразные бактерии, увеличиваются популяции, а также приумножаются доходы, растут снежные комья и многое другое. Горячие напитки тоже остывают по экспоненциальному принципу.

Натуральные логарифмы пригодятся при решении алгебраических уравнений с неизвестным степенным показателем. Log e также пригодятся при проведении математического анализа. Но это всего один из видов логарифмов. Есть и другие его варианты.

Десятичные логарифмы

Чтобы решать разнообразные логарифмические примеры, нужно в первую очередь ознакомиться с тем, какими могут быть log. Более «простыми» для понимания обычного человека являются десятичные логарифмы. Его основание будет равно 10. Он записывается как log₁₀b или lgb. Это значит, что десятичным логарифмов числа a будет решение уравнения 10^x = a.

Здесь различают два подтипа:

• вещественный log – существует только тогда, когда a больше нуля;
• комплексный log – существует лишь тогда, когда a не равно нулю.

Такой логарифм очень удобен при непосредственной «работе» с десятичными значениями. С его помощью можно комфортно вычислять круглые числа.

Двоичный логарифм

Log по основанию 2 – это двоичный логарифм. Для его обнаружения необходимо произвести подсчеты уравнения 2^x = a. Он обозначается как lb x. Такой log часто используется в разработке программного обеспечения и при создании разнообразных сложных вычислительных проектов. Это связано с тем, что компьютеры работают в двоичной системе счисления.

Двоичный log числа существует, только если соответствующее число является больше нуля.

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое свойство будет следовать из определения логарифма: X^logxy=Y. Отсюда следует, что равенство двух вещественных логарифмов – это равенство логарифмируемых выражений. А значит, если Log_xy = log_xz, то X^logxY=Xl^ogxZ.

Из представленного тождества следует, что y = z. Представленный принцип носит название основного логарифмического свойства.

Свойства и формулы

Операции, которые человек или устройство может выполнить с log, сильно ограничены. Если их запомнить, можно выполнять логарифмические задачи очень быстро.

Первое, на что нужно обратить внимание, – это не только на основное логарифмическое тождество, но и на действующие на log ограничения. Так, их основание и аргумент должны быть больше нуля. А основание, как уже было сказано ранее, не может выступать в качестве единицы.

Теперь, вспомнив упомянутые ограничения, можно рассмотреть основные логарифмические свойства. Они будут работать в обе стороны. Применяются соответствующие принципы как слева направо, так и справа налево.

К основным свойствам log можно отнести следующие моменты:

1. Логарифм единицы по любому основанию – это ноль.
2. Если у логарифма степень и основание совпадают, он будет равен единице.
3. Логарифм произведения чисел – это сумма их log.
4. Логарифм любой дроби – это разность log числителя и знаменателя.
5. Если аргумент или основание возведены в степень, их можно удобно выносить перед log.
6. Допустимо изменение логарифмического основания. К нему прибегают, если изначальный его показатель неудобен. В этом случае целесообразно использовать формулу: log_ab = (log_cb)/(log_ca).
7. Из предыдущего свойства следует, что у log допустимо менять местами основание и аргумент. Для этого требуется пользоваться формулой: log_ab = 1/log_ba.
8. Логарифм корня – это логарифм модуля подкоренного выражения, который поделен на множитель корня.
9. Логарифм степени – это log модуля основания, умноженного на степенной показатель.

Теперь основы работы с логарифмами и их ключевые свойства рассмотрены. Каждый на основании представленной выше информации сможет полноценно производить расчеты log, а также решать задачи, связанные с ними.

Рассматриваемый алгебраический компонент очень часто используется в разработке программного обеспечения. Поэтому необходимо также посмотреть, как log применяют в программировании. В качестве примера будет приведен язык Python.

Python и log

Python – один из самых известных и распространенных языков программирования. С его помощью можно написать разнообразные проекты – от обычного калькулятора до полноценной игры. Этот язык разработки часто используется в сочетании с C++ и другими известными средствами программирования в качестве дополнительного инструмента.

Решать задачи, связанные с логарифмическими выражениями, с его помощью тоже можно. Более того – без существенных затруднений. У Python много библиотек и фреймворков, с помощью которых допустимо выполнение различных операций.

Для работы с логарифмами у Питона предусматривается модуль math. Его нужно импортировать в свой проект при помощи команды import.

Теперь можно посмотреть, как работает соответствующий модуль. Пусть будет дан log₂8. Нужно решить соответствующую задачу. Для реализации операции требуется задействовать метод math.log(b,a).

В программном коде это будет выглядеть так:

Здесь необходимо обратить внимание на следующие моменты:

• сначала функции будет передан аргумент log, а потом уже – основание;
• функция всегда возвращает тип данных float – даже если результат подсчетов будет целочисленным.

Если основание в log не передается, логарифм по умолчанию будет рассматриваться в качестве натурального. Выглядит это так:

Для двоичного и десятичного логарифмов у Python предусматриваются отдельные методы. Они выглядят так:

Также у Питона поддерживается один специфичный метод. Он прибавляет к аргументу единицу, а затем считает натуральный логарифм от получившегося числа:

Если x будет приближен к нулю, то упомянутый метод окажется более точным, чем math.log(1+x). Вот наглядный пример соответствующих подсчетов для сравнения:

Представленный выше специфичный метод практически не используется на практике, но он все равно существует. О нем нужно помнить каждому программисту.

Теперь понятно, что собой представляет логарифм. И как решать задачи, связанные с log того или иного типа, тоже. Данный алгебраический компонент широко используется в разработке программного обеспечения не только на Python, но и на других языках программирования.

Лучше изучить логарифмы и их применение при создании тех или иных проектов помогут дистанционные компьютерные курсы. На них в срок от нескольких месяцев до года можно выучить досконально понравившийся язык программирования, а также любую IT-специализацию или конкретное направление. Весь процесс обучения проводится в режиме онлайн. В конце каждый учащийся получит цифровой сертификат, подтверждающий приобретенные знания и навыки в выбранном ранее направлении.

Интересует Python? Добро пожаловать на курс в Otus!