Математика, физика и другие точные науки связаны друг с другом. Они часто встречаются не только в обыденной жизни, но и в разработке программного обеспечения. Особенно алгебраические и геометрические формулы/понятия.

Сегодня предстоит познакомиться с логарифмами простых чисел и не только. Необходимо выяснить, что собой представляет логарифм (log), для чего он может использоваться. Вниманию будут представлены ключевые свойства данного математического элемента.

Предложенная информация рассчитана на широкую публику. Она подойдет для изучения как программистами и математиками, так и обычными ПК-пользователями.

Определение

Логарифм (log) – это математическая функция. Она выступает обратной к операциям возведения в степень. Можно сказать, что log – это перевернутая степень.

Логарифмом числа b по основанию a определяется показатель степени, в которую необходимо возвести a для получения числа b. Обозначается как log_ab. Читается «логарифм b по основанию a».

Чтобы лучше разобраться с этим компонентом, рекомендуется рассмотреть наглядный пример. А именно: 2³=8. Здесь:

• 2 – основание степени;
• 3 – показатель степени;
• 8 – результат возведения в степень.

Возведение в степень имеет два обратных выражения. В одном необходимо отыскать основание (извлечение корня), в другом – показатель (логарифмирование). Второе понятие – это и есть вычисление log.

Все вышесказанное значит, что ранее представленную запись можно интерпретировать так: log₂8=3. Если подвести итог, можно сказать, что логарифм – это число, в которое нужно возвести 2 (основание) для получения 8 (результата возведения в степень).

Форма записи log не является интуитивно понятной. Из-за этого изначально можно перепутать основание со степенью. Чтобы такого не было, необходимо запомнить одно правило: у log, как и у возведения в степень, основание пишется внизу.

Натуральный логарифм

Логарифмы бывают разными. В процессе математических расчетов и во время программирования специалисты могут сталкиваться с натуральными логарифмами.

Ключевой частью любого log выступает его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций дает возможность производить с ними те или иные операции.

Натуральный log – это иррациональное число. Его основанием выступает число Эйлера. Обозначается как e. Значение числа Эйлера приблизительно равняется 2,71828.

Под иррациональным числом понимается число, которое нельзя записать в виде привычной дроби с числителем и знаменателем. Знаменатель у такого значения не равняется нулю. В качестве примеров можно представить корень из числа 2 и 0,333. В первом случае речь идет об иррациональных числах, во втором – о рациональных, потому что 0,333 можно представить приблизительно как 1/3.

Натуральные логарифмы часто используются в точных науках. Для них была введена отдельная интерпретация – ln x. Соответствующая запись обозначает log_ex.

Что такое e

Чтобы лучше понимать работу с натуральным логарифмом, необходимо выяснить, что собой представляет e. Пусть будет дан кристалл весом 1 килограмм. Он растет со скоростью 100 % в год. Предполагается, что через год он станет весить 2 килограмма, но данное утверждение является неверным.

Каждая новая выращенная часть станет наращивать свои собственные части. Когда в кристалле будет 1,1 килограмма, он начнет расти со скоростью 1,1 кг/год, когда в нем будет 1,5 килограмма – со скоростью 1,5 кг/год. Математики подсчитали, что через 12 месяцев масса такого кристалла будет равна 2,71828 килограмма. Это и есть e.

Подобный рост носит название экспоненциальным. По экспоненте:

• приумножаются доходы человека или бизнеса;
• увеличиваются популяции;
• растут снежные комья;
• размножаются бактерии;
• остывают напитки и многое другое.

Теперь можно выяснить, для каких целей нужны натуральные логарифмы.

Зачем нужны ln x

Чтобы понять, какой массой будет кристалл через несколько лет, необходимо возвести e в соответствующую степень. Это не так трудно.

Возникает вопрос о том, как рассчитать момент, в который кристалл будет весить определенное количество килограмм. Пусть это будет 1000 кг. В этом случае целесообразно использовать запись: e^x=1000.

Основание степени и результат возведения в степень известны. Теперь осталось отыскать только показатель. Представленная выше запись может быть записана как x=log_e1000. В сокращенной форме представления она выглядит так: x=ln1000.

Результатом математических расчетов станет 6,9. Именно столько лет потребуется условному кристаллу, растущему по ранее представленному принципу, чтобы достичь веса 1 тонна.

Иные виды логарифмов

Натуральный логарифм (ln) является не единственным в своем роде. Log могут быть разными. Все зависит от их основания:

1. Десятичный логарифм. Это log с основанием 10. Обозначается как lg x. Он очень удобен для расчета круглых чисел. Lg x – это то же самое, что и log₁₀x.
2. Двоичный логарифм. У него основание равняется 2. Обозначается такой логарифм как lb x. Он чаще всего встречается в разработке программного обеспечения. Данный факт обуславливается тем, что компьютерная техника «думает» и работает в двоичной системе. Lb x=log₂x.

Это наиболее распространенные виды log. Они встречаются как в разработке программного обеспечения, так и математике чаще остальных.

Свойства

Как считаются логарифмы, понятно. Перед более сложными расчетами необходимо запомнить несколько логарифмических свойств. Они пригодятся в разных науках, включая программирование.

Все логарифмы (log) обладают ограничениями. Их основание и аргумент должны быть больше нуля. Также необходимо помнить, что основание не может быть равно единице.

Теперь можно перейти к основным логарифмическим свойствам. Они работают в обе стороны. Применяются эти элементы как слева направо, так и справа налево:

1. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
2. Логарифм, где число и основание одинаковы, равен единице.
3. Основное логарифмическое тождество: log_aaⁿ=n.
4. Log произведения чисел равен сумме их логарифмов.
5. Log дроби равен разности log числителя и знаменателя.
6. Если основание или аргумент возведены в степень, их можно выносить перед log.
7. Если неудобно использовать заданное изначально основание логарифма, его можно заменить.

Последнее свойство будет выглядеть так:

Теперь понятно, как считать логарифмы в том или ином случае. При помощи представленных свойств сделать это будет намного проще.

Для чего необходимы

Log используется не только в математике и программировании, но и в обыденной жизни. Этот элемент встречается намного чаще, чем кажется. К примерам log в жизни человека можно отнести:

1. Децибелы. В них осуществляется измерение относительной громкости звуков. Расчеты ведутся по десятичному log. Относительная громкость называется таковой из-за того, что она отсчитывается от минимального порога, которую способен расслышать человек. Если громкость звука равна 20 ДБ, значит, это громче самого тихого в 100 раз, если 30 ДБ – в 1000.
2. Химию. Здесь можно в качестве примера привести активность водородных ионов.
3. Выдержки и диафрагмы на фотографиях. Это тоже логарифмические элементы. Каждое новое значение будет больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.
4. Ракетостроение. Здесь для вычисления ракетных скоростей используется уравнение Циолковского. В его основе заложена логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.
5. Природу. В качестве log в природе встречаются разнообразные спирали: ракушки, растения и даже рога горных козлов.

В других областях и сферах жизни log тоже встречаются. При программировании можно за счет рассматриваемого элемента проанализировать сложность алгоритма и ориентировочно предположить, сколько времени потребуется для выполнения проекта. Предполагается, что за секунду проект реализует 1 миллион команд.

В разработке

Разработка программного обеспечения – область, в которой log встречаются очень часто. Кроме ранее представленных задач они помогают рассчитывать рекурсивные функции. Это функции, которые вызывают сами себя. Разработчик может проанализировать ее сложность.

Выше представлен кодовый фрагмент, позволяющий вычислить факториал заданной переменной. Принцип расчета целого положительного факториала заключается в перемножении всех предшествующих положительных целых чисел. Обозначается он символом «!».

Циклов у этой функции нет, но ее сложность нельзя назвать константой. Если применить эту функцию к числу n, она будет вычисляться на протяжении n-раз. Это напоминает log.

Логарифмическая сложность

Поиск значений в массиве – популярная задача в разработке. Для поиска ответа необходимо знать:

• определение логарифма;
• логарифмические свойства.

При наличии отсортированного массива, в котором требуется отыскать то или иное значение, ход решения становится более сложным. Решать такие задачи можно несколькими способами. В качестве примера стоит привести бинарный поиск.

Для этого требуется взять средний элемент из массива. Если он совпадает с заданным значением – задачу удалось решить. Если изначальный показатель больше выбранного компонента, можно сделать вывод о том, что он лежит в правой части массива. Если меньше – в левой. Далее предстоит разбивать соответствующие подмассивы до тех пор, пока не будет обнаружено искомое значение.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!