Знания высшей математики могут пригодиться во всех областях деятельности, включая IT и разработку. Они помогают осознать логику программного обеспечения, а также вовремя выявить некоторые крупные ошибки.
Сегодня предстоит изучить интеграл функции. Также необходимо познакомиться с видами интегралов и их особенностями. Предложенная информация пригодится как студентам, так и специалистам самых разных областей.
История
Ключевые понятия интегрирования появились в работах Ньютона и Лейбница в конце 17 века. Лейбниц ввел впервые обозначение рассматриваемого компонента: 
Строгое определение рассматриваемого математического элемента для непрерывных функций было сформулировано Коши в 1823-м году, а для производных – в 1823-м Риманом.
Определение
Интегрирование функций – процедура, которая была известна еще в Древнем Египте. Тогда точное определение данному понятию было дать достаточно трудно. Сейчас можно охарактеризовать интеграл как математическую концепцию нескольких видов.
Интеграл функции – это самое важное понятие математического анализа. Оно возникает в процессе решении разных задач:
- нахождение площади заданной кривой;
- вычисление массы неоднородного объекта;
- восстановление функции по ее производной;
- вычисление пройденного пути, если движение осуществлялось неравномерно.
Интеграл может быть упрощенно представлен в качестве аналога суммы для бесконечного количества бесконечно малых слагаемых.
Виды
Чтобы полностью понять, что такое интеграл в математике, необходимо изучить его виды. Рассматриваемый термин – это функция. Она используется в математике при разнообразных расчетах.
Может быть нескольких видов:
- Неопределенный интеграл. Так называется функция, которая получается при помощи интеграции (процесса, прямо противоположного дифференцированию).
- Определенный интеграл. Функция, которая выражает область, находящуюся ниже кривой графика неотрицательной функции f и между двумя любыми значениями a и b.
Чтобы лучше понимать каждый тип рассматриваемого элемента, рекомендуется изучить его на наглядных примерах.
Неопределенный тип
Неопределенный тип рассматриваемой функции – это производная числа. Пусть в задаче будет дана некоторая функция f(x). Ее неопределенным интегралом будет называться такая F(x), производная которой равняется f(x).
Рассматриваемый математический элемент – это производная или первообразная. Такой компонент существует для всех непрерывных функций. К первообразным иногда добавляют знак константы. Связано это с тем, что производные выражений, различающихся на константу, все равно будут совпадать. Процедура вычисления интеграла – это интегрирование.
Определенный тип
С помощью рассматриваемого элемента можно вычислять площади фигур, массы неоднородных тел, пройденный неравномерно путь и так далее. Интеграл – это сумма бесконечно большого количества до бесконечности малых чисел (слагаемых).
Чтобы лучше понимать определенные интегралы, рекомендуется изучить задачу о нахождении площади криволинейной трапеции. Пусть будет дана фигура, которая ограничена осью абсцисс, прямыми x = a и x = b, а также графиком функций y – f(x). Это криволинейная трапеция. График будет выглядеть так:
Если по оси абсцисс отложить время, а по оси ординат – скорость тела, то площадь криволинейной трапеции – это весь пройденный объектом путь.
Для соответствующих вычислений потребуется:
- Разбить отрезок [a;b] на меньшие части точками xi. Должно получиться так, чтобы a = x0<x1<xi<xn=b.
- Саму трапецию разбить на полоски, которые лежат над отрезками [xi;xi+1].
- В каждом отрезке берется произвольная точка «эпсилон», которая принадлежит к соответствующему отрезку ([xi;xi+1]).
- Из-за того, что длина отрезка xi+1-xi мала, значение функции f(x) на соответствующем пространстве окажется примерно постоянным. Оно будет равняться yi = f(«эпсилон»i).
- Площадь криволинейной трапеции станет приблизительно равной площади фигуры ступенчатого типа, которая получилась на графике:
.
Теперь, если увеличивать количество точек разбиения так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали, площадь соответствующей ступенчатой фигуры будет все больше приближаться к площади криволинейной трапеции. Это приводит к следующему определению:
“Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек «эпсилон»i, предел суммы при стремлении длин всех отрезков к нулю, такой предел будет называться определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a;b]”.
Обозначение:
Точки a и b – это пределы интегрирования.
Свойства
Рассматриваемый математический элемент необходимо правильно рассчитывать. Для определенных и неопределенных интегралов предусматриваются совершенно разные свойства.
Если речь идет о неопределенном типе, здесь необходимо принять во внимание следующее:
- производная от интеграла равняется подынтегральной функции;
- константа может быть вынесена из-под знака интеграла;
- интеграл от суммы – это сумма интеграла;
- интеграл разности – разность интегралов.
Для определенного типа действуют следующие свойства:
- линейность;
- если пределы интегрирования поменять местами, будет меняться знак всего выражения.
Интегрирование возможно не всегда. Оно проводится, если функция определена и непрерывна.
Для расчета интеграла используется выражение: 
Сложные записи необходимо преобразовать через методы интегрирования. Все они являются достаточно сложными. Рассматривать их необходимо отдельно. Увидеть самые распространенные методы интегрирования можно тут.
Как только подынтегральная функция приведена к простейшему виду, нужно подобрать ее первообразную. Для этого требуется воспользоваться таблицей неопределенных интегралов.
Таблица для расчетов
Чтобы рассматриваемый компонент можно было вычислить, рекомендуется запомнить следующие первообразные:
Это наиболее распространенные интегральные записи неопределенного типа. Чтобы рассчитать integral, потребуется просто подставить необходимые значения максимума, минимума и других параметров выражения. Далее – произвести те или иные математические манипуляции.
В случае с подсчетом определенного интеграла действовать придется иначе. Здесь поможет формула Ньютона-Лейбница:
Здесь сначала нужно найти первообразную F(x) (константа добавляться не будет), а затем – подставить значения a и b в найденное выражение. Останется подсчитать результат и найти их разность по заданной формуле. Результат – определенный интеграл.
Наглядные примеры
Чтобы понять, как выяснить, чему равен интеграл в том или ином случае, недостаточно запомнить предложенные свойства и выражения. Необходимо попытаться произвести расчеты на простейших примерах.
Пусть будут даны неопределенный и определенный integrals соответственно:
Их необходимо подсчитать.
В случае с неопределенным типом достаточно воспользоваться интегральной таблицей. Решением станет 4x + C. Определенный тип подсчитывается так: 
Вот более сложный пример:
Решение будет следующим:
Если построить график предложенного выражения и его первообразной, в обоих случаях x начнет принимать значения от 0 до «+ бесконечности».
Чтобы лучше научиться считать рассмотренный тип выражений, можно обучиться в ВУЗе на математической специальности или пойти в школу с углубленным математическим уклоном. Быстрее разобраться с изученной темой помогут специальные дистанционные курсы. В режиме онлайн за короткий срок пользователь сможет освоить интегральные функции и научится использовать их.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям, в том числе и по математике, есть в Otus!
