Высшая математика – область науки, которая пригодится во всех сферах деятельности. IT и разработка программного обеспечения не являются исключениями. С помощью высшей математики получится создать логику различных приложений, а также обнаружить ошибки в исходном коде. Особенно это касается крупных неполадок.
Далее предстоит получше познакомиться с интегралом функции. Нужно выяснить историю появления соответствующего термина, а также рассмотреть разновидности интегралов и их ключевые особенности. Опубликованные данные пригодятся и студентам, и IT-специалистам, и работникам других сфер деятельности.
Историческая справка
Интегрирование и его ключевые понятия возникли еще в 17 веке благодаря Ньютону и Лейбницу. Лейбниц – ученый, который впервые ввел наглядное обозначение интегралов функции:
Соответствующая запись напоминает об интегральной сумме. А вот термин «интеграл» (integral) предложил Иоганн Бернулли. Это ученик Лейбница. Фурье тоже внес свой вклад в развитие рассматриваемого математического элемента. Он предложил в 1820-м году обозначение интегрирования, которое используется до сих пор.
Но строгое определение интеграла для непрерывных функций появилось только в 1823-м году. Его ввел Коши. Для производных соответствующее понятие ввел Риман.
Функция – это…
Перед изучением интеграла в математике необходимо понимать, что собой представляет функция. Функция – это некое соответствие между двумя множествами. В нем каждому компоненту одного множества будет соответствовать только один элемент другого.
В математике понятие функции отвечает за интуитивное выражение представления о том, как одна величина полностью определяет значение другой. Под упомянутым термином часто рассматривается числовая функция. Это функция, в которой значения аргументов и значения функции представлены числовыми записями. Именно их легко представлять графически.
Интеграл – определение
Чтобы выяснить, что называется интегрированием, сначала требуется познакомиться с интегралами получше. Интеграл функции – это одно из самых важных понятий в математическом анализе.
Простыми словами – это аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Интеграл функции представляет собой математическую операцию, обратную дифференцированию. Она дает возможность решать разнообразные задачи, связанные с изменением величин в пространстве:
- вычисление массы объектов неоднородного характера;
- расчет пройденного пути, когда движение производилось неравномерно;
- обнаружение площадей заданных кривых.
Интегрирование функций – операция, известная долгое время. Ей пользовались еще в Древнем Египте. В то время дать точное определение рассматриваемому понятию было проблематично. На данный момент интеграл может рассматриваться в качестве математической концепции, полезной в различных областях деятельности. А интегрирование – это восстановление функции по ее производной. Так характеризуется операция по нахождению интеграла.
Для чего требуются: сферы применения
Задумываясь, для чего нужен интеграл, стоит отметить, что он используется не только в математике, но и в анализе, IT и других сферах деятельности. Найти применение этому «инструменту» получится везде.
С помощью интегралов функций получится находить:
- площади под графиками функций;
- объемы тех или иных тел;
- центры тяжести заданных фигур.
Они также могут использоваться для: дифференциальных уравнений, задач, связанных с оптимизацией и моделированием, прогнозирования разнообразных явлений в тех или иных областях науки/техники. Интегралы функции помогают разобраться с принципами работы большинства законов физики, заложенных в основу многих промышленных технологий.
Рассматриваемый элемент – это одна из ключевых математических технологий. Его использование встречается в науке и инженерии, а также в самых разных производственных процессах, связанных с обработкой информации и анализом их состояния.
Разновидности
Изучаемый элемент может быть разным. Знать интегральную классификацию необходимо для того, чтобы полностью разобраться с рассматриваемым математическим инструментом.
В науке можно встретить два вида интегралов:
- Неопределенный. Это функция, которая получится при помощи интеграции (так называется процесс, противоположный дифференцированию).
- Определенный. Так называется функция, выражающая область, расположенную ниже кривой графика неотрицательной функции f и между двумя любыми значениями a и b.
Далее каждый тип изучаемого компонента будет рассмотрен более подробно.
Неопределенная «функция»
Неопределенная функция – это производная заданного числа. Пусть будет дана некоторая функция f(x). Ее неопределенным интегралом станет такая F(x), производная которой будет равна f(x). В записи соответствующее определение будет выглядеть так:
Integral – это первообразная или производная. Он существует для функций, которые являются непрерывными. К первообразным иногда прибавляется символ константы. Данное явление связывается с совпадением производных выражений, которые отличаются друг от друга на эту самую константу.
Определенные «функции»
За счет интегрирования удается решать разные задачи, связанные с вычислением площадей фигур, массами тел, неравномерно пройденной «дорогой» и так далее. Integral – это сумма бесконечно большого количества до бесконечности малых чисел (они называются слагаемыми).
Определенный интеграл будет лучше понятен после изучения наглядного примера. Лучше всего подходит задача, связанная с нахождением площади криволинейной трапеции.
Дана фигура, ограниченная осью абсцисс, а также графиком функций y-f(x) и прямыми x=a, y=b. Так выглядит криволинейная трапеция. На графике она выражается следующим образом:
Ось абсцисс указывает на время, а ординат – на скорость тела. В этом случае площадь криволинейной трапеции охарактеризует весь пройденный тем или иным объектом путь.
Для расчета рассматриваемой величины потребуется:
- Поделить отрезок [a;b] при помощи точек xi на меньшие части. Сделать это необходимо так, чтобы получилось, что a = x0<x1<xi<xn=b.
- Поделить трапецию на полоски, лежащие над отрезками [xi;xi+1].
- Взять на каждом получившемся отрезке произвольную точку «эпсилон», принадлежащую к отрезку [xi;xi+1].
- Длина рассматриваемого отрезка мала. Из-за этого значение f(x) на нем будет примерно постоянным. Оно равняется yi=f(«эпсилон»).
- Площадь криволинейной трапеции станет приблизительно равной площади ступенчатой фигуры, получившейся на графике. В формульной записи получившаяся ситуация будет иметь следующую интерпретацию:
.
Если начать увеличивать точки разбиения так, чтобы все получившиеся отрезки по длине убывали, площадь ступенчатой фигуры начнет все больше приближаться к площади криволинейной трапеции. За счет этого можно дать такое определение:
«При существовании предела суммы при стремлении всех длин отрезков к нулю, независимо от выбора точек разбиения отрезка и «эпсилон»i,,такой предел будет носить название определенного интеграла функции f(x) по отрезку [a;b]».
Обозначается соответствующая запись как: 
Точки a и b указывают на пределы интегрирования.
Способы расчета
Что такое интегрирование в математике, уже более-менее понятно. Рассматриваемый элемент может быть рассчитан при помощи различных походов:
- Использование интегральной таблицы. В ней указывается информация об интегралах основных функций.
- Подстановка. Метод предусматривает замену переменной. Если integral поддерживает функцию, выраженную другой функцией, необходимо заменить соответствующую переменную. Это значительно упростит дальнейшие расчеты.
- Интегрирование по частям. Подход применяется, когда заданное выражение выступает произведением двух функций.
- Метод Ньютона-Лейбница. Базируется на том, что интеграл простыми словами – это обратная дифференцированию операция. Если известна производная функции, остальные расчеты не доставят хлопот.
- Численное интегрирование. Если предыдущие расчеты не помогли, можно попытаться произвести расчеты при помощи численных методов. Пример – метод трапеций. Точность полученных результатов будет зависеть от количества точек разбиения интервала.
Далее будут приведены основные свойства рассматриваемого компонента, а также несколько наглядных примеров интегральных вычислений. С помощью этой информации получится быстрее разобраться в изучаемом определении.
Свойства
Определенные и неопределенные интегралы имеют разнообразные свойства, о которых предстоит помнить при проведении расчетов. В первом случае требуется запомнить такие особенности как:
- линейность;
- при смене мест пределов интегрирования меняется знак всего заданного выражения.
Для неопределенных «выражений» характерны следующие свойства:
- производная будет равна подынтегральному «выражению»;
- интеграл от суммы = сумма интеграла;
- константу можно вынести из-под знака интеграла;
- интеграл разности = разность интегралов.
Интегрирование возможно не во всех случаях. Оно актуально для ситуаций, при которых функция будет определена и непрерывна.
Сложные записи должны быть предварительно преобразованы и приведены к более простой форме выражения. В этом помогут разнообразные методы интегрирования. Все они – сложные и часто требуют много времени для подсчетов. После упрощения «выражения» подбирается ее первообразная. В этом поможет таблица неопределенных интегралов.
Интегральная таблица
Для быстрых расчетов изучаемого математического компонента рекомендуется запомнить ряд равенств. К основной их категории относят следующие выражения:
Это самые распространенные интегральные выражения неопределенного вида. Для расчетов достаточно подставить в предложенные формулы имеющиеся значения максимума, минимума и других компонентов выражения. После этого предстоит произвести математические расчеты для получения необходимого результата.
При «работе» с определенными интегральными записями ситуация меняется. Для расчета предстоит использовать формулу Ньютона-Лейбница:
Тут предстоит сначала рассчитать первообразную F(X), после – подставить в результат значения a и b. Останется лишь произвести расчеты по получившемуся выражению и найти разность значений.
Примеры
Смысл интеграла и его свойства понятны. Теперь можно рассмотреть несколько наглядных примеров, помогающих освоить работу с изучаемым компонентом. Вот определенный и неопределенный интегралы:
При решении примера с неопределенным интегральным выражением необходимо воспользоваться ранее изученной таблицей. По ней ответом станет 4x+C. Для определенной «функции» предстоит произвести более сложные расчеты:
Лучше освоить интегралы, а также их применение в IT и разработке помогут дистанционные компьютерные курсы. На них в срок от пары месяцев до года обучат азам выбранного направления или помогут углубленно изучить ту или иную область. В конце обучения выдается электронный сертификат установленного образца.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
