Двоичная система в информатике и программировании

Компьютеры и другие устройства воспринимают информацию как некоторый числовой набор. Современная техника работает с самыми разными системами счисления. Наиболее распространенная – двоичная.

Далее будет рассказано о том, что собой представляют системы счисления, какими они бывают, для чего именно используются. Особое внимание предстоит уделить числам в двоичной системе. Предложенная информация ориентирована на широкую публику. 

Понятия и определения

Перед началом изучения бинарной формы записи значений необходимо запомнить несколько определений:

• число – это количество, цифра – символ, используемый для его обозначения;
• основание системы счисления – количество цифр в системе;
• разряд – индекс цифры, который начинается с нуля и отсчитывается в направлении «справа-налево»;
• бит – простейшая информационная единица в информатике, представленная 0 и 1.

Подробнее необходимо остановиться на понятии системы счисления. Так называется набор цифр и согласованных правил описания имеющихся чисел.

Система счисления – это…

Система счисления (или numeral system) – это некоторый символический метод записи чисел, представление чисел через письменные знаки.

Она:

• дает представление множества чисел – целых или вещественных;
• используется для отображения алгебраической и арифметической структуры чисел;
• позволяет каждое число представить в уникальной форме.

Существуют разные системы счисления: позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционный тип

Значение числа будет определяться в такой системе не только цифрами, но и их позицией. Это арабская система (десятичная), где первый разряд справа отводится под единицы, второй – для десятков, третий – для сотен и так далее.

В позиционной системе число 468 будет записываться как:

• 8 единиц;
• 6 десятков;
• 4 сотни.

К данной категории относят системы счисления с основаниями 16, 8 и 2.

Непозиционный тип

Значение чисел определяется знаком (цифрой). Чтобы обозначить единицы, десятки, сотни, тысячи в непозиционных системах используются специальные символы. Положение цифры в числе не будет иметь значения. Система способна накладывать некоторые ограничения на положение цифровых элементов. Пример – расположение в порядке убывания.

В качестве наиболее распространенного варианта непозиционных систем счисления выступают римские цифры. Число 475 здесь может иметь несколько способов записи:

• CCCCXXXXXXXIIIII;
• CDLXXV.

Второй вариант записи использует вычитание и прибавление. Значение цифры, которая стоит справа от большего числа, отнимается от этого самого числа. Если цифра стоит справа, значение должно прибавляться.

Двоичная система

Двоичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 2. Также называется бинарной (binary). Она широко используется в вычислительной технике и других современных устройствах.

Двоичные системы счисления используют всего две цифры при записи информации – 0 и 1. Они появились еще в Древнем Китае, но современная binary system стала развиваться в 17 веке, а ее применение началось в середине 20-го века.

История развития

Томас Хэрриот, астроном и математик из Англии, в 1605 году впервые описал двоичное представление чисел, а Фрэнсис Бэкон, философ, создал шифр из двух символов – A и B.

В 1670-м году Хуан Карамюэль-и-Лобковиц, богослуживец из Испании, опубликовал разные способы представления чисел в системах счисления. В публикации было упомянуто и про двоичную интерпретацию.

Наиболее значительными в развитии binary system стали работы Готфрида Лейбница, математика из Германии. В 1703 году он описал двоичную арифметику – возможные математические операции с двоичными числами.

В 1838 году изобретатель из Америки Самюэл Морзе создал одноименный шифр, который включал в себя всего два символа – точку и тире. Они передавались по телеграфу в виде сигналов различной длины. Азбука Морзе – это не бинарная система в строгом понимании термина, но двоичный принцип в ней использовался. Именно с ней соответствующий вариант представления записей продемонстрировал свою значимость.

Чуть позже, в 1847 году, Джордж Буль, математик из Англии, создал «булеву алгебру». В ней появились такие понятия как «ложь» и «истина», а также определенные логические законы.

В 1937 году Клод Шеннон, инженер из Америки, объединил двоичный принцип, булеву логику и электрические схемы. Он же ввел понятие «бит» – минимального количества информации, где:

• 0 – это отсутствие тока, «ложь» (0 бит);
• 1 – наличие тока, «истина» (1 бит).

С того самого момента бинарная система счисления стала активно применяться в вычислительной технике, включая современные компьютеры.

Числа в binary system

Двоичным числом называется число, которое состоит из двоичных цифр. Их всего две – 0 и 1. В качестве записей в binary system могут использовать разные значения: «ток есть» и «тока нет», «истина» и «ложь» и так далее.

Ниже можно увидеть числа в двоичной системе, а также их интерпретации в других системах счисления:

Эта таблица поможет лучше ориентироваться в расчетах и быстрее разобраться со способами представления чисел.

Любое натуральное число может быть закодировано в бинарном представлении. Оно будет представлять собой некоторую последовательность единиц и нулей.

Особенности

У двоичной системы счисления имеются как преимущества, так и недостатки. К ее слабым сторонам относят то, что она не понятна человеку на уровне интуиции. Также сюда можно отнести следующие моменты:

1. Неудобство работы с большими числами. Это вызвано длинной записью значения. Пример – RGB: 255₁₀, 255₁₀, 255₁₀. Здесь и далее нижний индекс будет указывать на основание системы. Значения RGB обычно записываются в шестнадцатеричной форме представления: FF₁₆, FF₁₆, FF₁₆. При переводе записи в бинарный вид получится 111111₂, 111111₂, 111111₂. Такая форма записи выглядит громоздко и непонятно.
2. Отсутствие реального применения в жизни (за исключением компьютеров и иной вычислительной техники).
3. Долгое вычисление вручную.

Двоичная система счисления для вычислительной техники – это некий стандарт. Из него следуют преимущества рассматриваемой формы представления информации:

• позиционная система предусматривает разряды;
• можно осуществлять различные арифметические действия;
• допустимо построение логики;
• подходит для шифрования данных;
• используется в качестве «родного» для компьютеров и других устройств.

Binary System – стандарт, используемый в ЭВМ. Он удобен при расчетах и занимает намного меньше пространства, чем остальные формы представления числовых записей.

Способы преобразования

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную или шестнадцатеричную – не самая трудная задача. В binary system разряды нумеруются справа-налево. Пример – 1010₂. Разряды будут соответственно:

• 3 – 1;
• 0 – 2;
• 1 – 1;
• 0 – 0.

Для перевода двоичного значения в десятичную форму необходимо взять цифру из наименьшего разряда, умножить на основание 2 в темени текущего разряда. Далее – проделать то же самое с остальными разрядами и сложить получившиеся результаты:

1010₂ = 0*2⁰+1*2¹+0*2²+1*2³ = 10₁₀.

Есть более простой поход. Если в двоичной записи попадается 0, он вычеркивается. Останется сложить разряды, которые получились после преобразований:

1010₂ = 2³ + 2¹ = 10₁₀.

Перевод из десятичной в бинарную систему

Для перевода значения из десятичной формы записи в бинарную необходимо поделить его на основание 2. Деление осуществляется до тех пор, пока в результате не останется единица.

Теперь получившуюся запись из 0 и 1 требуется записать в обратном порядке. Ниже – наглядный пример с преобразованием 9₁₀:

Точно также можно перевести любое другое значение. В основе операций лежит деление в столбик. С крупными значениями перевод может затянуться на долгое время.

Из бинарной в шестнадцатеричную

Чтобы перевести значение из бинарной формы записи в шестнадцатеричную, потребуется выполнить немало расчетов. Разделить их можно условно на два этапа:

1. Перевод заданного значения из бинарной формы в десятичную запись.
2. Преобразование полученного результата в шестнадцатеричный формат.

Примером послужит 1011101₂ = 93₁₀. Полученное десятичное значение необходимо преобразовать в шестнадцатеричное. Для этого 93 требуется делить в столбик до тех пор, пока остаток окажется меньше 16. Все остатки после произведенных расчетов записываются в обратном порядке. Результат – 93₁₀ = 5D16.

Дробные значения переводятся из бинарной формы представления в шестнадцатеричную точно также. Целые части записываются по уже известным принципам. В случае с дробной частью необходимо многократно и последовательно умножать ее до тех пор, пока она не станет равна нулю. Обычно такие расчеты производятся при помощи специальных калькуляторов. Вручную их практически не считают.

Свойства чисел в бинарной системе

Числа в двоичной системе обладают следующими свойствами:

• четные числа заканчиваются на 0, нечетные – на 1;
• если число делится на 4, оно закончится на 00;
• значения, которые делятся на 2^k, будут оканчиваться на k нулей;
• записи вида 2^k-1 будут записываться в бинарной форме k единицами: 15 = 2⁴-1 = 1111₂;
• если N относится к интервалу между 2^k-1 <= N < 2^k), его бинарная запись будет иметь всего k цифр: 125 = 2⁶ = 64 <= 125 < 128 = 2⁷, 125 = 1111101₂;
• если известна бинарная форма представления N, то 2N легко получить путем приписки в конце нуля: 15 = 1111₂, 30 = 11110₂, 60 = 111100₂, 120 = 1111000₂.

Запомнив предложенные свойства, можно достаточно быстро понять, какое двоичное число представлено в записи. А еще – провести элементарные математические действия.

Первые знания о двоичной системе счисления школьники получают на уроках информатики в 8-9 классах. Чтобы изучить ее более глубоко, рекомендуется посетить компьютерные курсы. На дистанционных уроках, организованных в режиме «онлайн», помогут не только разобраться с бинарным представлением значений, но и в других формах исчисления. Эти знания пригодятся каждому специалисту, работающему в IT-области.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!