Сегодня предстоит познакомиться с понятием вектора. Необходимо выяснить, что он собой представляет, какие характеристики имеет, как их вычислять в том или ином случае. Также вниманию будут представлены основные свойства векторов, области применения рассматриваемого элемента, его ключевые особенности.

Предложенная ниже информация рассчитана на широкий круг лиц. Она подойдет для изучения как обычному школьнику (особенно тому, кто планирует в будущем заняться разработкой программного обеспечения), так и IT-специалистам.

Определение

Вектор – это некое понятие из линейной алгебры. Оно характеризует объект, который имеет длину и направление. Направленный прямой отрезок с указанием того, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B необходимо обозначать как AB со стрелкой над соответствующими буквами. Рассматриваемый элемент может обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними. Пример – a. Иногда вектор обозначается прямым жирным шрифтом, без дополнительных составляющих – a.

Векторы помогают описывать реальные и абстрактные сущности: скорость, действие силы на предмет и так далее. Все соответствующие сущности объединяет наличие размера (длины) и направления. При помощи векторов их получится описать полно и подробно.

Вектор состоит из чисел. В одном таком элементе может храниться более одного числа. Наиболее простым вариантом представления изучаемого понятия является контейнер с множеством числовых данных. Эти самые числа допустимо представить себе в виде координат, которые описывают некоторую точку или движение, или просто в виде некоторого информационного набора.

У векторов имеются две важные характеристики:

• строгий порядок данных;
• возможность совершать некоторые математические операции.

Направленные отрезки допустимо складывать и вычитать, умножать на число. Все это допустимо изобразить геометрически для более понятной и наглядной интерпретации.

При записи и изображении векторов необходимо помнить о том, что порядок букв в записи имеет значение. Первая из них отвечает за указание на начало направленного отрезка, а вторая – за его конец. Это значит, что AC и CA – это совершенно разные векторы.

Виды

Вектор – это направленный отрезок на плоскости. Некий объект, который помогает выражать определенные величины. Существуют разные виды векторов:

1. Коллинеарные векторы. Так называются направленные отрезки, которые находятся на одной прямой или параллельных друг другу прямых.
2. Неколлинеарные. Это векторы, которые размещаются не на одной и не на параллельных прямых. Они должны иметь одну и ту же длину.
3. Сонаправленные. Коллинеарные векторы, которые имеют одно и то же направление. Обозначаются в записи так: a↑↑b̅.
4. Противоположно направленные. Коллинеарные векторы, имеющие совершенно разное направление. Обозначить их на письме можно как: a̅↑↓b̅.
5. Равные. Такие векторы являются одновременно сонаправленными и коллинеарными. У них будут одинаковые длины.
6. Нулевой вектор. Это направленный отрезок, длина которого равняется нулю. Такой элемент является коллинеарным любому вектору. Обозначается как {0̅}.
7. Закрепленный. Так называется отрезок с упорядоченными концами. Это понятие является относительно новым, и оно обычно пока не используется на практике.
8. Свободный вектор – вектор, начало и конец которого являются незакрепленными. Он может перемещаться вдоль прямой, на которой располагается. Также допустимо перемещение по параллельным ей прямым. Свободный вектор – это множество закрепленных векторов.

Также стоит обратить внимание на понятие угла между несколькими направленными отрезками. У сонаправленных векторов он составит 0 градус. Данная особенность характеризуется тем, что они размещаются на одной или параллельных прямых и обладают одним и тем же направлением. У противоположно направленных векторов угол будет равен 180 градусам. Также существуют перпендикулярные векторы. Между ними угол будет равен 90 градусам.

Кто и для чего использует векторы

Перед изучением свойств векторов, примеров их изображения на плоскости, а также основных операций, рекомендуется сначала понять, кто и для чего использует «направленные отрезки».

Определение векторов и их использование пригодится:

1. Математикам в самых разных направлениях. Рассматриваемое понятие является одним из базовых в линейной алгебре. Поэтому оно применяется в огромном количестве математических формул и определений.
2. Физикам и другим специалистам естественных наук. Это связано с тем, что с помощью рассматриваемого элемента допустимо выражение множества формул, описывающих реальный материальный мир.
3. Инженерам. Они пользуются во время работы различными формулами с векторами.
4. Специалистам по большим данным. Это связано с тем, что вектор представляет собой одну из структур, лежащих в основе соответствующего IT-направления.
5. Специалистам по машинному обучению. Из векторов можно создавать матрицы, которые используются для хранения информации и обучения различных моделей.
6. Разработчикам программного обеспечения вычислительного типа. Тем, кто пишет математические программы и использует их для работы.
7. Дизайнерам и иным специалистам по компьютерной графике. Векторы ими могут использоваться для рисования разнообразных изображений.
8. Звукооператорам и звукоинженерам. Это связано с тем, что рассматриваемый компонент может применяться при обработке звука.

«Направленные отрезки» могут пригодиться и иным специалистам. Речь идет о тех, кто так или иначе связан с математикой.

Рассматриваемый элемент пригодится для:

1. Математических, физических и иных вычислений. С их помощью удастся рассчитать как импульсы, так и ряд Фурье.
2. Графического и математического представления некоторых операций и явлений. В качестве примеров можно привести перенос объекта с места на место, приложение силы к тому или иному элементу.
3. Организованного хранения множества числовых данных и операций над ними.
4. Представления числового множества в качестве единого объекта. Это может иметь значимость в различных сферах деятельности. В качестве примера можно взять разработку программного обеспечения.
5. Описания многомерных структур. «Направленные отрезки» могут иметь не только три измерения, как обычный геометрический объект, а бесконечное их количество.
6. Организации анализа данных. Сведения могут быть собраны в векторные структуры, сгруппированы и качественно проанализированы.

Изучаемое понятие широко используется теми, кто в той или иной степени связан с математическими расчетами. Поэтому оно пригодится не только IT-специалисту, но и работникам других сфер.

Запись и изображение

Вектор – это направленный отрезок, который в разных дисциплинах выражается по-разному. Общая суть интерпретаций схожа. Графически рассматриваемое понятие представляет собой стрелку или линию, которая описана математически.

Сделать это можно несколькими способами:

1. Именем в виде буквы, над которой изображается линия или стрелка. После нее нужно поставить скобки, в которых через запятую перечисляются хранящиеся числа.
2. Набором чисел, который написан в столбик. Соответствующая запись заключается в круглые или квадратные скобки.
3. Особыми готическими буквами.

Ниже можно увидеть, как векторная запись будет выглядеть на практике:

Векторные величины можно нарисовать графически. В этом случае рисуется стрелка определенной длины и установленного направления. Эти параметры зависят от наполнения самого вектора.

Выше – наглядный пример графической интерпретации рассматриваемого элемента. Далее предстоит рассмотреть его изображение в разных дисциплинах, а затем – на различных координатных плоскостях.

Физика

В физике «направленный отрезок» будет «висеть» в пространстве. Он не имеет жесткой привязки к той или иной системе координат. Такой элемент способен демонстрировать самые разные реальные явления:

• падение луча света;
• движение предмета;
• распространение приложенной силы.

Чтобы лучше понимать принцип отображения рассматриваемого элемента в физике, стоит изучить простой пример. Пусть будет дана чашка, которая стоит на столе. Ее перемещают. Отрезок от ее начальной точки положения до конечной – это и есть вектор. Сила, которую нужно приложить к чашке – тоже вектор. Соответственно, на физических схемах рассматриваемый элемент выражается стрелками: от точки, где начался тот или иной процесс, к точке, где он закончился. С их помощью также можно обозначить интенсивность и направление сил, которые действуют на объект.

Выше – наглядный пример того, как изображается рассматриваемый элемент в физике.

В IT

В Big Data, машинном обучении и других IT-областях «направленные отрезки» имеют чуть другую интерпретацию. Их здесь проще представить в виде структуры данных, где хранится некоторое количество чисел. Что-то вроде упорядоченного массива.

Более специфичная интерпретация будет напрямую зависеть от отрасли, с которой предстоит иметь дело. В геймдеве используются понятия и изображения из физики, а в компьютерной графике – из геометрии. Это всего лишь общие примеры. В реальной жизни использование «направленных отрезков» намного шире.

В программировании

В разработке программного обеспечения векторные элементы могут быть представлены упорядоченными массивами. В качестве примера можно взять C++. В этом языке разработки есть отдельный тип данных. Он называется vector и является одним из базовых. Для описания подобных структур могут существовать и специальные типы данных, которые изначально «заточены» под математику, науку о данных и другие направления.

Особые типы способны характеризовать и более сложные структуры, базирующиеся на «направленных отрезках»:

• матрицы;
• тензоры;
• другие компоненты.

Они могут быть собраны в отдельный математический модуль языка или в библиотеку, которая была разработана специально для того или иного направления. В качестве примера можно привести Python с его NumPy и SciPy.

Интерпретация в математике

Геометрически можно изобразить изучаемый элемент разными способами. Ситуация напрямую зависит от того, что за вектор перед человеком, а также от количества известных координат.

Скаляр – это вектор, который состоит из одного числа. Он изображается на координатной плоскости в виде точки. Ставится (откладывается) на имеющейся числовой прямой. Запись скаляра производится в круглых скобках.

Выше – наглядный пример графического изображения скаляра с одной координатой. Если у рассматриваемого «направленного отрезка» имеются сразу две координаты, предстоит иметь дело с двумерной координатной плоскостью XY. Вектор также изображается точкой.

С помощью чисел можно задать координаты рассматриваемого алгебраического и геометрического элемента в пространстве. Они будут служить некоторой инструкцией, с помощью которой осуществляется перемещение от хвоста к началу (стрелке) вектора. Первое число – это расстояние (длина), откладываемое по оси X, второе – по оси Y.

При построении «направленного отрезка» предстоит запомнить следующие правила:

• по оси X положительные числа указывают на движение вправо;
• по оси X отрицательные числа указывают на движение влево;
• положительные значения по оси Y указывают на смещение точки вверх;
• отрицательные значения по оси Y указывают на смещение точки вниз.

Запомнив эти простые правила, можно будет не только понять, какие векторы сонаправлены, но и правильно изобразить их на координатной плоскости в двухмерном пространстве.

Чтобы лучше понять соответствующий принцип, стоит изучить наглядный пример. Пусть будет дан вектор с координатами -5 и 4. В этом случае сначала нужно по оси X «пройти» 5 шагов влево, а по Y – «подняться» на 4. Графически это будет выглядеть следующим образом:

Это наиболее распространенная на практике ситуация. Но иногда специалистам требуется использовать «направленные отрезки» в трехмерном пространстве. В этом случае предстоит добавить ось Z. Она проводится перпендикулярно X и Y. Векторная величина будет включать в себя три цифры:

• первая указывает на движение по оси X;
• вторая указывает на перемещение по оси Y;
• третья указывает на перемещение по оси Z.

Выглядит это так:

Бывают векторные величины, которые состоят из 4-х и более координат (чисел). Они встречаются очень редко и почти не используются на практике. Строить их необходимо по ранее представленному принципу: сначала нужно взять заданные координаты, затем – построить N-мерное пространство и отложить на нем имеющуюся точку.

Действия с векторами

Какие векторы сонаправлены, понятно. И способы изображения рассматриваемого элемента – тоже. Теперь можно изучить основные действия над векторами. А еще – разобраться с определением длины «направленных отрезков». Далее вниманию будут представлены самые распространенные операции над изучаемым алгебраическим элементом, встречающиеся на практике.

Сложение

Первая операция, с которой необходимо познакомиться, – это сложение векторов. Оно может производиться несколькими способами. Первый – через метод треугольника.

Пусть в пространстве будут даны «направленные отрезки» a̅ и b̅. Нужно их сложить. Для этого используется правило треугольника. Соответствующая задача особо актуальна для физиков, потому что она тесно связана с силой. Именно сила часто прикладывается к одному и тому же телу.

Чтобы сложить два вектора, потребуется:

1. Изобразить один вектор на плоскости.
2. Отложить начало одного «направленного отрезка» от конца другого.
3. Вектор суммы векторов совпадает с вектором c̅. Он исходит из начала координат a̅ и соединяет их с концом b̅.

 Ниже можно увидеть наглядную интерпретацию решения соответствующей задачи.

Сложение векторов может осуществляться иначе. В качестве примера можно взять метод параллелограмма. Для этого нужно:

1. Совместить начала c̅ и d̅.
2. Отложить от конца c̅ отрезок, равный d̅.
3. От конца d̅ отложить отрезок, равный c̅. Получится некий параллелограмм.
4. Провести диагональ у параллелограмма между c̅ и d̅. На ней будет лежать вектор суммы c̅ и d̅.

Вот так это выглядит графически:

Метод многоугольника – еще один способ обнаружения суммы векторов. Он подходит для ситуаций, когда предстоит иметь дело более чем с двумя «направленными отрезками». Данный подход является расширенным методом треугольника.

Данный принцип требует последовательно совмещать конец и начало векторов, а после – изображать суммирующий «направленный отрезок». Его начало должно совпадать с началом первого вектора, конец – с концом последнего.

Выше  наглядный пример того, как складываются «направленные отрезки» по правилу многоугольника.

Вычитание векторов

С «направленными отрезками» можно выполнять самые разные действия. Следующая операция – вычитание. В математике – это то же сложение, но с обратным числом. С рассматриваемым элементом соответствующий принцип тоже действует. Вместо вычитания вектора AB достаточно прибавить вектор, который противоположно направлен исходному: a̅-b̅ = a̅+(-b̅).

Вот графическая интерпретация рассматриваемой операции по правилу треугольника:

Чтобы не запутаться, рекомендуется руководствоваться такими правилами:

1. Один «направленный отрезок» откладывается от начала другого.
2. Разность векторов совпадет с «направленным отрезком», начало которого совмещено с концом вычитаемого элемента, в конец – с концом уменьшаемого.

Выглядеть это будет так:

Соответствующий принцип напоминает метод параллелограмма, но в нем необходимо взять другую диагональ.

Умножение на число

Умножение на скаляр (число) – еще одна операция, которую должен знать каждый математик и IT-специалист. В этом случае «Направленный отрезок» просто «растягивается» с сохранением направления. Получившийся вектор будет сонаправленным с начальным.

Если «направленный отрезок» умножить на ноль, он станет нулевым. И его длина будет равна нулю. А значит, начало такого элемента будет совпадать с его концом. Интерпретация умножения на ноль – это точка.

Если сложить два противоположно направленных вектора, получится нулевой: a̅ + (-a̅) = 0̅. А если к любому «направленному отрезку» прибавить нулевой, ничего не изменится.

При умножении рассматриваемого элемента на отрицательное число, он меняет свое направление на противоположное. Такие компоненты будут называться обратными данному. Они должны быть коллинеарными.

Скалярное произведение

Скалярное произведение – операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр. То есть число, которое никак не зависит от выбранной системы координат.

Скалярным произведением вектора AB (a̅ и b̅) будет скалярная величина, которая равна произведению модулей этих самых «направленных отрезков» на косинус угла между ними.

Рекомендуется запомнить следующее:

1. Если угол между «направленными отрезками» будет прямым, скалярное произведение равно 0. Это связано с тем, что косинус между ними равен 0.
2. Если угол между векторами AB тупой, а сами векторы ненулевые, скалярное произведение будет отрицательным. Это связано с тем, что косинус угла между ними меньше 0.
3. Скалярное произведение «направленного отрезка» на противоположно направленный ему – это отрицательное произведение их длин.

Остается изучить определение координат рассматриваемого алгебраического элемента на плоскости и в пространстве, а также познакомиться со способами обнаружения его длины.

Координаты на плоскости и в пространстве

Существуют базисные векторы. Так называются «направленные отрезки», каждый из которых направлен вдоль своей оси координат в трехмерном пространстве. Они обозначаются как i̅, j̅, k̅.

Любой «направленный отрезок» в трехмерном пространстве может быть разложен по базисным. A̅ с координатами (A_x, A_y, A_z) может быть записан как A̅ = A_x * i̅ + A_y * j̅ + A_z * k̅.

Длина вектора

Длина вектора – одно из ключевых понятий, с которым предстоит столкнуться каждому, кто будет работать с «направленными отрезками». Она характеризует их протяженность в пространстве. Векторная длина выражается числом.

Длина вектора – расстояние между его началом и концом. Часто длина называется вектором и имеет соответствующее обозначение. Найти ее получится различными способами:

• при помощи векторных координат;
• через координаты точек начала и конца «направленного отрезка»;
• посредством теоремы косинусов.

Далее каждый прием обнаружения векторной длины будет рассмотрен более подробно.

Длина через векторные координаты

Первый вариант обнаружения длины – через заданные координаты. Пусть будет A̅ с координатами (x,y). В этом случае его длина будет равна квадратному корню из суммы квадратов координат (x2+y2).

Сначала из 0 нужно отложить A̅ с координатами (0,0). Он будет называться O̅A̅. Координаты направленного отрезка могут быть найдены по формуле {A_x-0_x, A_y-0_y} = (x, y). Длина рассчитывается по ранее представленной формуле.

Длина через координаты начала и конца

Еще один вариант расчета длины – при помощи точек начала и конца рассматриваемого компонента.

Пусть будет дан C̅D̅ с соответствующими координатами. Посмотреть их можно на изображении выше. В этом случае длина C̅D̅ определяется как разность (X_D-X_C, y_D-y_C). Теперь остается подставить соответствующее выражение в ранее изученную формулу подсчета длины. Получится такая запись:

Но и это еще не все. Длину можно рассчитать при помощи теоремы косинуса. Такой вариант встречается редко, но помнить о нем все равно необходимо.

Длина через теорему косинуса

Не всегда координаты вектора AB и других даны при решении задач, связанных с обнаружением длины. В этом случае рекомендуется пользоваться теоремой косинусов.

Она звучит так: квадрат стороны треугольника будет равен сумме квадратов двух его других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В векторной форме она будет выглядеть так:

Чтобы найти длину a̅, нужно знать или иметь возможность рассчитать длины b̅ и c̅, а также знать угол между ними. После – рассчитать произведение длин этих элементов.

Теперь понятие вектора и основных определений, связанных с ним, разобрано. Научиться применять соответствующие знания на практике помогут дистанционные компьютерные курсы.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!