Компьютеры и остальные современные устройства умеют работать с различными системами счисления. Обработка информации обычно осуществляется при помощи бинарных элементов. Эта кодировка позволяет быстрее работать с данными, но для восприятия человеком она подходит не лучшим образом.
Далее предстоит получше изучить бинарные числа. Необходимо понять, для чего и когда они применяются. Также предстоит выяснить, что вообще собой представляет число, ознакомиться с наиболее популярными и распространенными системами счисления. Предложенная информация пригодится как IT-специалистам, так и обычным ПК-пользователям.
Ключевые понятия
Перед более детальным изучением бинарной системы необходимо ознакомиться с несколькими ключевыми понятиями и определениями. Они помогут быстрее разобраться в соответствующем направлении:
- Число – какое-то количество, требующее фиксации. Записывается при помощи специальных символов. В основном – цифр.
- Система счисления – некий набор цифр, каждая из которых обозначает определенное количество.
- Позиционная система – значение каждой цифры будет зависеть от ее позиции (разряда) в имеющемся числе.
- Непозиционная система – самая древняя. В ней каждая цифра обладает определенной величиной, которая не зависит от ее позиции (разряда) в записи.
- Однородная система – для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) будет одинаковым. Пример – 10-я система. В ней при записи чисел используются значения от 0 до 9.
- Смешанная система – в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Наиболее распространенным и успешным примером является система измерения времени. В разряде секунд и минут допустимы 60 различных символов, а в часах – 24.
Все это поможет лучше понять системы счисления. Далее предстоит познакомиться с их наиболее распространенными вариантами. Особое внимание будет уделено бинарной модели.
Непозиционные системы
История «систем» начинается еще в древности. Наиболее распространенными выступают непозиционные системы счисления. В них значение числа определяется только знаком (цифрой). Для обозначения десятков, единиц, сотен, тысяч и так далее используются отдельные символьные знаки. Наиболее распространенным представителем непозиционных систем выступает римская. Она не является исчерпывающей. Далее будут представлены наиболее распространенные непозиционные системы. Вся эта информация поможет увидеть особенности двоичной системы.
Единичная система
Здесь числа представляют собой строку из черточек (палочек), количество которых указывает на значение заданного числа. 100 единиц – это 100 черточек, 15 яблок – это 15 черточек и так далее.
Такая система неудобна, особенно при работе с большими числами. Чем крупнее оказывается обрабатываемое значение, тем длиннее строка. Со временем люди стали группировать черточки по несколько штук:
- 3;
- 5;
- 10.
Каждая группа получала соответствие определенному знаку или предмету. Изначально для счета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 единиц. Все это позволило создать более удобные способы записи чисел.
Древнеегипетская десятичная
В Древнем Египте для счета и записи чисел использовались специальные обозначения. Вот некоторые из них:
Десятичной она называется из-за группировки символов египтянами. Они остановились на группировке десятками. Единица осталась без изменений. Число 10 тут – это основание системы счисления, а каждый символ – это представление 10 в какой-либо степени.
Числа в Древнем Египте записывались в виде комбинации соответствующих символов. Каждый элемент могжет повторяться не более 9 раз. Итоговое значение – это сумма составляющих числа. Подобный способ получения значений свойственен каждой непозиционной системе счисления. Пример – число 345:
Выше можно увидеть графическую форму записи 345 в Древнем Египте.
Вавилонская шестидесятеричная
История также знает вавилонскую систему. В ней использовались всего два символа:
- «прямой» клин – обозначение единиц;
- «лежащий» клин – для указания десятков.
Для определения числового значения требуется изображение числа разбить на разряды справа-налево. Новый разряд должен начинаться с появления прямого клина после лежачего. Вот пример отображения 32:
Число 60 и все его степени обозначаются прямым клином – как и 1. Именно поэтому вавилонская система получила название шестидесятеричной. Вот пример записи 92:
Запись чисел была неоднозначной, ведь в вавилонской системе не было цифры, обозначающей 0. Представление числа 92 могло обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3632 = 3600 + 32. Для получения абсолютного значения был введен специальный символ – пропущенного шестидесятеричного разряда. Он соответствовал появлению 0 в записи десятичных чисел:
Теперь 3632 записывается как:
Вавилонская система – первая система счисления, которая частично базируется на позиционном принципе. Иногда она встречается в реальной жизни. Пример – исчисление времени.
Римская
Еще одна система непозиционного типа. Она напоминает египетскую. Здесь обозначения 1, 5, 10, 50, 100, 1000 выражаются заглавными латинскими буквами: I. V, X, L, C, D, M соответственно. Число в римской системе – это набор стоящих подряд цифр.
Для определения числового значения нужно запомнить следующие особенности и правила:
- Значение числа – это сумма значений его цифр.
- Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равняется разности между большей и меньшей цифрами. Левая цифра может быть меньше правой на один порядок.
- Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.
Также существуют буквенные (алфавитные) системы представления. К ним можно отнести славянскую и греческую концепции.
Позиционные системы
Изучая двоичное представление чисел, необходимо обратить внимание на позиционные системы. Они более понятны людям, а также хорошо воспринимаются различными цифровыми устройствами. Далее будут представлены позиционные системы. Двоичная система относится к этой категории, но она рассмотрена отдельно.
Десятичная
Наиболее распространенный вариант. Именно он используется в обыденной жизни. Здесь основание является 10. В каждом разряде может использоваться только одна цифра в диапазоне от 0 до 9 включительно.
Число 477 – это: 4*102 + 7*101 + 7*100. При одновременной работе с несколькими системами необходимо указывать в нижнем индексе 10. А именно – 47710.
Восьмеричная
Перед изучением двоичных записей чисел стоит рассмотреть другие наиболее распространенные системы. Пример – восьмеричная. Она часто встречается в цифровой технике. Имеет основание 8, а использует для записи значений цифры от 0 до 7 включительно.
Для перевода восьмеричного числа в 10-ю систему нужно каждый разряд исходного значения умножить на 8n, где n – это номер разряда. Пример – 2548 = 2*82 + 5*81 + 4*80 = 17210.
Шестнадцатеричная
Широко используется в современных компьютерах, особенно в графике. Она помогает указывать цвет. Пример – #FFFFFF – это белый. Основание – 16. Данная система счисления использует для записи 0-9, а также A-F.
Для перевода 4F516 в восьмеричную систему нужно сначала преобразовать значение в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда – в 8-ю. для преобразования этого же значения в 2-е требуется каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4f516 = (100 1111 101)2. Недостающие разряды заполняются нулями. Это значит, что в конечном итоге запись будет иметь такой вид: 010 011 110 101. Теперь каждая двоичная группа переводится в 8-ю, где каждый разряд – это 2n. Получится 4F516 = 23658.
Двоичная
Двоичная система является одной из наиболее распространенных в компьютерной технике. Это система с основанием 2. Свое начало она берет еще в Древнем Китае.
История
История двоичной системы в современной интерпретации началась еще в 1605 году. Она началась благодаря Томасу Хэрриоту, английскому математику и астроному. Он впервые описал двоичную интерпретацию чисел. Философ Бэкон Фрэнсис создал шифр из двух символов – A и B.
Готфрид Лейбниц в 1703 году впервые описал двоичную арифметику – математические операции с двоичными числами. В 1838 году появилась азбука Морзе. Она включала в себя всего два сигнала: «точку» и «тире». Это один из первых вариантов интерпретации бинарной системы.
В 1847 году Джордж Буль изобрел так называемую «булеву алгебру». В ней были всего два понятия: «истина» и «ложь», а также поддерживался ряд логических законов.
А в 1937 году Клод Шеннон, американский инженер, объединил булеву логику, бинарные подходы и электрические схемы. Он ввел понятие «бит» – минимальное количество информации. А еще – указал обозначение бита:
- 0 – «ложь» – тока нет (0 бит);
- 1 – «истина» – ток есть (1 бит).
С тех самых пор началось активное использование двоичной системы в ЭВМ и компьютерах. Этот принцип сохранился до сих пор.
Элементы в двоичной системе
Двоичные значения состоят из двоичных цифр. А именно – 0 и 1. Соответствующим элементам могут быть приписаны два противоположных друг другу значения: «истина» и «ложь», «ток есть» и «тока нет», «лампа горит» и «лампа не горит» и так далее.
В этой системе счисления основание 2. Значения записываются только при помощи нулей и единиц. В каждом разряде допускается всего одна цифра.
Пример – 1112. Для его перевода в 10-ю систему, понятную человеку, нужно умножить каждую цифру на основание 2, возведенное в степень, равную разряду: 1112 = 1*22 + 1*21 + 1*20 = 4 + 2 + 1 = 710.
Перевод из десятичной в бинарную систему
Двоичная система удобна для восприятия ЭВМ. В реальной жизни ей практически не пользуются из-за сложностей интерпретации людьми. Перевод значения из десятичной системы в бинарную осуществляется достаточно легко. Для этого нужно делить заданное число на 2 столбиком. Делать так требуется до тех пор, пока в конечном итоге не останется единица. Далее – полученные остатки (из 0 и 1) записать в обратном порядке.
Выше – наглядный пример перевода 910 в двоичную систему. Приведенное изображение лучше объясняет процедуру деления в столбик 10-го числа. Отсюда следует, что 910 = 10012.
Перевод из двоичной в десятичную и шестнадцатеричную системы
В двоичной системе перевод имеющихся чисел не составит никакого труда. Разряды здесь нумеруются в направлении справа–налево, начиная с 0. Для перевода имеющегося значения в 10-ю систему нужно взять цифру наименьшего разряда и умножить на основание 2 в степени текущего разряда. Далее – провести аналогичные действия с остальными разрядами, а результат – сложить.
Есть и более простой метод. Если в двоичном числе попадается 0, соответствующий разряд вычеркивается. Теперь нужно сложить то, что осталось. Пример – 10102 = 23 + 21 = 1010. А вот перевод шестнадцатеричного значения в десятичное: FF16 = 1111 11112 = 25510.
Теперь понятно, что собой представляют двоичные числа. Также были изучены основные системы, использующиеся в IT и реальной жизни. Лучше узнать их и научиться работать с соответствующими системами помогут специализированные компьютерные курсы.
Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!
