Если надо сделать вывод о поведении очень сложных объектов, не вникая при этом в принцип их работы, используют такой способ, как вероятность. На практике вероятность определяют как функцию от некоторого события из семейства множеств. Эта функция возвращает число — некоторую характеристику, определяющую, насколько часто происходит то или иное событие в реальности. Чтобы повысить определенность, математики условились считать, что данное число должно находиться между 0 и 1.
Также к такой функции предъявляют ряд требований:
— вероятность невозможного события является нулевой;
— вероятность всего множества исходов является единичной;
— вероятность объединения 2-х независимых событий (речь идет о непересекающихся множествах) равняется сумме вероятностей.
У вероятности есть и «второе имя» — вероятностная мера. Обычно используют Лебегову меру, которая обобщает такие понятия, как длина, площадь и объем на любые размерности (n-мерный объем), в результате чего она становится применимой для широкого класса множеств.
Когда говорят о совокупности множества элементарных исходов, вероятностной меры и семейства множеств, говорят о вероятностном пространстве. Давайте подумаем, как построить вероятностное пространство, взяв в качестве примера стрельбу по мишени. Пусть это будет большая и круглая мишень с радиусом R, то есть мишень, промахнуться по которой практически нереально. Множеством элементарных событий будет являться круг с центром в самом начале координат радиуса R. Так как мы хотим использовать для описания вероятности события площадь (меру Лебега для 2-мерных множеств), то следует задействовать семейство измеримых множеств (то есть множеств, для которых данная мера существует).
Итак, уже упоминалось, что вероятность пространства элементарных исходов должна быть равна единице. Также напомним, что площадь круга — это 2-мерная мера Лебега, которую обозначим λ2 (A), причем А — это событие). Так вот, площадь круга хорошо известна еще со школьной скамьи и равняется π * R2. В таком случае можно ввести следующую вероятность:
P(A) = λ2 (A) / (π * R2)
Причем данная величина для любого события А будет находится между нулем и единицей.
Предположив, что попадание в любую точку нашей мишени является равновероятным, скажем, что поиск вероятности попадания в какую-нибудь область мишени будет сведен к поиску площади этого множества. Также учтем, что вероятность попадания в конкретную точку равняется нулю, ведь площадь точки равняется нулю.
К примеру, нам надо узнать вероятность того, что стреляющий попадет в «десятку» (можно сказать, что это событие A — попадание в нужное множество). Согласно нашей модели, «десятка» — это круг, имеющий центр в нуле и радиус r. Соответственно, вероятность попадания в данный круг можно выразить следуюим выражением:
P(A) = λ2/(A)π * R2 = π * r2/(π R2)= (r/R)2
И это одна из наиболее простых разновидностей задач, связанных с «геометрической вероятностью», так как большая часть таких задач все же требуют поиска площади.
По материалам статьи «Математика для программистов: теория вероятностей».
