В разработке программного обеспечения и других областях информационных технологий часто встречаются понятия и элементы из алгебры и геометрии. В качестве примера можно привести логарифмы и их функции.

Сегодня предстоит разобраться с логарифмированием. Сначала нужно выяснить, что такое логарифмы, какими они бывают, чем отличаются. Далее – разобраться с понятием логарифмирования и интерпретацией функции рассматриваемого элемента.

Опубликованные ниже сведения пригодятся многим читателям. Особенно тем, кто решил посвятить себя миру IT или учится в университете на физико-математических специальностях. Остальным графики логарифмов пригодятся для общего развития и лучшего понимания логарифмирования.

Определение

Логарифм – это перевернутая степень. У возведения в степень есть два обратных выражения. Первое – поиск основания (извлечение корня), второе – поиск показателя (это и есть логарифмирование).

Под логарифмом принято понимать число, в которое необходимо возвести основание степени, чтобы получить определенный результат. Обозначается такой математический элемент на письменности log_ab. Соответствующая запись читается как «логарифм числа b по основанию a.

Виды

Перед изучением логарифмов как функций, сначала нужно рассмотреть их виды. Можно выделить такие варианты log как:

1. Натуральный. У него основанием служит число Эйлера (e). E – это иррациональное число (которое нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем). У него есть приблизительное значение – 2.71828. Натуральные log используются для изучения экспоненциального роста. Он характерен для бактерий, увеличения популяции, приумножения доходов и так далее. Даже напитки будут остывать по экспоненте. На письме такая логарифмическая функция обозначается как ln.
2. Десятичный. Логарифм с основанием 10. Обозначается как lg или log₁₀x. Такие элементы используются для математических расчетов. Особенно в случае с круглыми числами.
3. Двоичный. Такой логарифм имеет основание 2. Обозначается как lbx. Используется чаще всего в разработке программного обеспечения. Это связано с тем, что компьютеры и другие устройства работают с двоичной системой.

На двоичных log предстоит остановиться чуть подробнее. Но сначала необходимо запомнить некоторые формулы и свойства рассматриваемых компонентов. Они пригодятся для изучения логарифмов как функций.

Несколько слов о “e” и “ln”

Рассматривая натуральные log, необходимо не только знать, что они собой представляют, но и разобраться в числе Эйлера. Для этого требуется представить одну задачу.

Пусть будет дан некоторый кристалл. Он весит изначально 1 килограмм. Скорость кристаллического роста составляет 100 % в год. Следует ожидать, что за 12 месяцев весить такой элемент будет уже 2 килограмма.

Данное утверждение неверно. Это связано с тем, что каждая новая выращенная часть начинает наращивать собственную. Когда кристалл весит 1,1 килограмма, он растет со скоростью 1,1 кг/год, а когда 1,6 – со скоростью 1,6 кг/год. Математики смогли посчитать, что за год масса кристалла, растущего по заданным принципам, составит e, равное приблизительно 2,71828 килограмма.

Именно такой рост называется экспоненциальным. Он активно встречается в обыденной жизни. 

Свойства и формулы

Операции, допустимые для выполнения с log, сильно ограничены. Если запомнить их все, логарифмирование будет проводиться очень быстро.

Все log имеют ограничения. Основания и аргументы должны быть больше 0. Основание не может равняться единице. Это основные правила, которые нужно запомнить.

Также стоит принять во внимание следующие свойства log:

• логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю;
• log с одинаковым основанием и аргументом равняется единице;
• log произведения чисел – это сумма их логарифмов;
• если основание или аргумент возводятся в степень, их можно вынести перед логарифмом;
• допустимо изменение основания log, если оно неудобно для расчетов по формуле:

Все это – лишь базовые знания, которые позволят более детально изучить логарифмы как функции. Это пригодится специалистам почти всех точных наук.

Log-функция

Логарифмическая функция – это функция, которая записывается как y=log_ax. Здесь необходимо помнить, что a и x должны быть больше нуля. Дополнительно a≠1.

Здесь также необходимо запомнить несколько свойств рассматриваемой функции. А именно:

• область определения D(f) = (0;+∞);
• множество значений E(f) = (-∞;+∞);

• если a>1 – функция будет возрастать на всей области определения;
• если 0<a<1 – функция будет убывать на всей области определения.

Логарифмическую функцию нельзя отнести к четным или нечетным. Она также не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Ограничений сверху и снизу у нее не будет.

Еще один момент, на который стоит обратить внимание – это то, что существует точка (1;0). Через нее проходит любая функция изучаемого типа.

Также необходимо помнить, что у функции y=log_ax есть взаимно обратная функция. Речь идет о показательной функции y=a^x, где a>0 и не равно единице.

Функция lbx

Ранее были рассмотрены логарифмы как функции в общих чертах. Теперь можно более детально изучить lbx.

Если представить себе логарифмируемое число в качестве переменной, получится функция: y=lbx. Она существует и определена на всех x больше нуля. Область значений E(y) составляет от плюс бесконечности до минус бесконечности.

Такой график функции носит название логарифмики. Он будет обратен для функции y=2^x. График двоичных логарифмов будет монотонно возрастать. Соответствующая функция является непрерывной и дифференцируемой везде, где она определена.

Ее производная будет определяться по формуле, приведенной ниже:

Ось ординат (x=0) – это вертикальная асимптота рассматриваемого компонента. Это связано со следующим выражением:

Ниже можно увидеть наглядный пример графика логарифма по основанию 2.

Это всего лишь пример, который представлен для общего ознакомления. Больше конкретики дадут конкретные задачи, связанные с графическим изображением log (и не только двоичных).

Log-функции и их общее изображение

Что такое логарифмическая функция, понятно. И ее основные свойства – тоже. С lbx также удалось ознакомиться, но этого мало, чтобы полноценно решать различные задачи. Стоит изучить принципы построения log-функций на координатной плоскости в том или ином случае.

Если основание (a) >1, то получающаяся функция будет строго возрастающей.

Выше – пример графической ее интерпретации. Также основание может быть больше нуля, но меньше единицы. В данном случае функция будет убывающей.

Выше – наглядное графическое изображение рассматриваемого элемента.

Теперь можно выяснить, как будет выражаться логарифмическая зависимость (взаимно обратная) на плоскости. Как уже было сказано, y=log_ax и y=a^x взаимно обратны. Тогда выглядеть они будут так:

Примеры в цифрах

Теперь, когда теория изучена, необходимо рассмотреть несколько наглядных примеров. Они позволят не просто понять логарифмы как функции и изобразить их на координатных плоскостях, но и наглядно продемонстрируют разницу между ними.

Сначала пусть будет дан двоичный log. Основание здесь больше единицы. График строится по следующим параметрам:

X	¼	½	1	2	4	8
Lbx	-2	-1	0	1	2	3

Если не знать log в теории, практически интерпретировать этот элемент на координатной плоскости не представится возможным.

А вот еще один пример построения log-функции. Здесь основанием будет служить 1/3. Это значение больше нуля, но меньше единицы.

Строиться график функции будет при помощи следующих значений:

X	9	3	1	1/3	1/9
Log	-2	-1	0	1	2

Если сравнить два представленных графика, можно заметить, насколько сильно они отличаются друг от друга. Аналогичным образом изображается десятичный логарифм и ln.

Как быстрее изучить логарифмы для IT

Вниманию были представлены данные, связанные с логарифмированием, а также понятие логарифма как функции. Удалось ознакомиться с основными видами и свойствами log, а также изучить несколько наглядных примеров их графической интерпретации на плоскости.

Чтобы быстрее и лучше выучить логарифмирование для IT и разработки программного обеспечения, рекомендуется пройти специализированные компьютерные курсы. Они рассчитаны на срок от нескольких месяцев до года. Сопровождаются богатой практикой и помощью в формировании портфолио. В конце обучения каждый получит электронный сертификат, подтверждающий приобретенные знания и навыки.

При помощи дистанционных компьютерных курсов пользователи смогут освоить любое IT-направление, а не только научиться в режиме «онлайн» считать логарифмы, изображать их на плоскости и использовать при разработке программного обеспечения. Такой вариант изучения дает возможность погрузиться не только поверхностно, но и углубленно в любую специализацию, связанную с информатикой и программированием, а также IT.

Дистанционные курсы по смежным дисциплинам и наукам тоже есть. На них также обучают использовать логарифмирование. В качестве примера стоит привести аналитику данных, машинное обучение и работу с искусственным интеллектом.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!