Векторы: основные определения и операции

Векторы часто используются не только в математике, но и в разработке программного обеспечения. С ними можно выполнять различные операции. За счет векторов иногда удается решать достаточно сложные задачи.

Далее предстоит познакомиться с этим элементом геометрии поближе. Требуется выяснить, что собой представляют векторы, какими они бывают. Также необходимо разобраться с определением их длин, выполнением тех или иных операций.

Представленная информация рассчитана на широкую публику. Она пригодится как школьникам (тема векторов в геометрии изучается в старшем звене), так и IT-специалистам. Это – «база», помогающая понять изучаемый геометрический элемент.

Определение

Вектор – это прямой направленный отрезок. Для него указывается, какая из имеющихся граничных точек является началом, а какая – концом.

Вектором называется отрезок, который имеет два параметра:

• длину;
• направление.

Графически соответствующий геометрический элемент изображается как прямой отрезок. Его конец помечается стрелочкой (направлением).

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как AB, над которыми нарисована горизонтальная стрелка. Они могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелочкой, иногда – с чертой. Также допускается написание символа вектора прямым жирным шрифтом. Подобное обозначение встречается редко.

При обозначении рассматриваемого элемента порядок букв в записи имеет огромное значение. Первая буква указывает на его начало, вторая – на конец. Это значит, что векторы AB и BA – разные.

В процессе изучения рассматриваемого геометрического элемента необходимо запомнить определение скалярной величины. Это такая величина, которая может быть охарактеризована тем или иным числом. Сюда относят:

• температуру;
• массу;
• площадь;
• длину;
• иные величины.

Теперь можно рассмотреть более подробно запись изучаемого элемента, его виды, а также основные операции.

Способы записи

В разных дисциплинах «направленный отрезок» представляется разными способами, но суть записей схожа. Вектор – это стрелка, линия, описанная при помощи математических методов.

Существуют различные формы записи соответствующего элемента:

1. Имя в виде буквы, над которой рисуется линия или стрелка. После имени ставятся скобки, в которых через запятую перечисляются хранящиеся числа.
2. Набор чисел в столбик. Такая запись заключается в скобки. Они могут быть круглыми или квадратными.
3. Запись при помощи особых готических букв. Такой вариант на практике практически не встречается.

Ниже можно увидеть наглядную реализацию упомянутых способов записи «направленных отрезков»:

Также векторы можно просто нарисовать. Изображается рассматриваемый геометрический элемент как стрелка определенной длины и направления. Эти параметры зависят от наполнения самого «направленного отрезка».

Выше можно увидеть, как изображается рассматриваемый геометрический компонент графически.

Способы изображения

Кроме ранее рассмотренных способов записи существуют разнообразные способы изображения векторов. В основном представленные далее интерпретации встречаются в математике, геометрии и физике.

Вектор, состоящий из одного числа (скаляр) – это точка, размещенная на числовой прямой. Такой вариант изображения является наиболее простым.

«Направленный отрезок», состоящий из двух чисел – это точка на координатной плоскости X и Y. Числа задают координаты вектора в имеющемся пространстве. Это своеобразная инструкция, по которой необходимо перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Здесь:

• первое число – это расстояние, которое нужно пройти по оси X;
• второе число – расстояние по оси Y;
• положительные числа по оси X – это движение вправо;
• отрицательные числа по оси X – движение влево;
• положительные числа по оси Y – движение вверх;
• отрицательные числа по оси Y – движение вниз.

Пусть будет дан «направленный отрезок» с числами -5 и 4. Для поиска соответствующей точки требуется пройти по оси X 5 «шагов», по оси Y – 4.

Выше можно увидеть наглядный пример графического изображения вектора в двухмерном пространстве.

«Направленные отрезки» из трех чисел встречаются в геометрии и программировании реже. Они изображаются по аналогичному с ранее представленным принципу. Только координатная плоскость будет трехмерной – с осями X, Y, Z.

Если вектор состоит из четырех и более чисел, он будет строиться по аналогичному принципу: нужно взять координаты, построить N-мерное пространство и отыскать необходимую точку. Для обучения основам работы с векторами и решения большинства задач, связанных с ними, подобные операции не потребуются.

Виды

«Направленные отрезки» могут быть разных типов. В зависимости от вида вектора будут меняться особенности выполнения доступных над ними операций.

На данный момент известны следующие типы векторов:

1. Нулевой. Это – вектор, у которого конец и начало совпадают. Длина такого элемента равняется нулю. Обозначается как 0 с горизонтальной черточкой над ним.
2. Единичный. Так называется «направленный отрезок», длина которого равняется единице. Носит название орт.
3. Коллинеарные. Два вектора будут коллинеарными, если они лежат в пределах одной и той же плоскости, но на параллельных прямых.
4. Сонаправленные. Это коллинеарные векторы, направления у которых совпадают.
5. Противоположно направленные. Название данного типа «направленных отрезков» говорит само за себя. Так называются рассматриваемые элементы коллинеарного типа, направленные в противоположные стороны.
6. Компланарные. Такое название получили векторы, параллельные одной и той же плоскости или лежащие на одной плоскости. Стоит обратить внимание на то, что любые два вектора являются компланарными. Это связано с тем, что всегда можно отыскать плоскость, параллельную им обоим.
7. Равные. «Направленные отрезки», которые имеют одинаковое направление и длину. Они должны лежать на одной и той же или параллельных прямых.

Также необходимо разобраться с понятием длины вектора. Так называется величина, равная или большая нуля. Она указывает на длину отрезка, составляющего вектор.

Иногда в геометрии встречаются дополнительные понятия:

1. Закрепленный вектор – отрезок с упорядоченными концами.
2. Свободный вектор. Так называется «направленный отрезок», начало и конец которого не закреплены. Он может перемещаться вдоль прямой, на которой расположен соответствующий элемент, а также параллельно ей.

Понятие вектора, его разновидности и грамотное изображение на письме и координатных плоскостях изучены. Теперь можно более подробно рассмотреть основные операции над изучаемым геометрическим компонентом.

Основные операции

Над «направленными отрезками» заданной длины можно совершать разнообразные математические операции: сложение, вычитание, умножение на число. Отдельно стоит изучить способы нахождения длины рассматриваемого геометрического компонента.

Сложение

Пусть будут даны два исходных вектора a и b. Для выполнения операции сложения над ними из произвольной точки необходимо отложить «направленный отрезок» AB, который будет равен a, из полученной точки – BC, равный b. Теперь нужно соединить получившиеся точки. Это приведет к получению AC.

Соответствующий геометрический элемент отражает сумму исходных данных. Рассмотренный принцип сложения носит название «правила треугольника».

Сложение нескольких элементов

Правило треугольника служит основой для сложения более двух векторов. Достаточно поочередно прибавлять к получившемуся результату последующий «направленный отрезок».

Пусть будут даны исходные векторы:

• a;
• b;
• c;
• d.

Из произвольной точки A на плоскости сначала откладывается отрезок, равный a, затем от его конца – вектор, равный b. По такому же принципу откладываются c и d. Конечная точка – это B. Полученный отрезок AB указывает на сумму всех исходных данных. Соответствующий принцип называется правилом многоугольника.

Рассматривая вычитание, можно заметить, что отдельных схем для подобной операции нет. Разность векторов a и b – это сумма a и –b.

Умножение

Для того, чтобы умножить «направленный отрезок» на некоторое число k, требуется запомнить ряд правил. А именно:

• если модуль k > 1, отрезок растягивается в k-раз;
• если 0 < модуль k < 1 – отрезок сжимается в 1/k-раз;
• если k < 0 – меняется направление рассматриваемого элемента, соблюдая предыдущие два правила;
• если k = 1, ничего не меняется;
• если один из множителей – это нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения станет нулевой вектор.

Эти простые правила помогут умножить «направленный отрезок» на число.

Длина

Длина вектора – это некоторое расстояние между его началом и концом. Длина часто носит название модуля. Обозначается вертикальными рамками, в которых располагается начало и конец рассматриваемого компонента.

Длина может быть найдена несколькими способами:

• при помощи координат «направленного отрезка»;
• через координаты начала и конца рассматриваемого элемента;
• по теореме косинусов.

Далее все эти методы обнаружения длин будут рассмотрены более подробно.

Через координаты

Длина изучаемого геометрического элемента может быть найдена по формуле x2+y2, где x и y – это заданные координаты.

Данное правило – это теорема Пифагора.

Координаты начала и конца

Длина рассматриваемого геометрического компонента может быть обнаружена через его координаты начала и конца.

Пусть будут даны C (x_c, y_c) и D (x_D, y_D). Тогда длину соответствующего «направленного отрезка» можно определить по формуле: квадратный корень из выражения (x_D-x_c)²+(y_D-y_c)².

Теорема косинуса

Еще один способ нахождения длины рассматриваемого компонента – это использование теоремы косинуса. Она используется тогда, когда длина не может быть вычислена другими способами. Пример – когда в задаче нет начальных и конечных точек.

Для нахождения длины рассматриваемого геометрического компонента необходимо вспомнить формулировку теоремы косинусов. Она звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух его других сторон минус удвоенное произведение этих самых сторон на косинус угла между ними.

Для обнаружения длины изучаемого компонента необходимо запомнить формулу теоремы косинусов. Она выглядит так: a² = b² + c² -2bc cos a.

Теперь, чтобы найти длину a, нужно вычислить или обозначить длины b и c. А еще – уточнить угол между ними. Останется рассчитать произведение длин соответствующих элементов и воспользоваться ранее представленной формулой.

Выше можно увидеть наглядную интерпретацию теоремы косинусов для обнаружения искомой длины.

Свойства

С основными операциями над векторами и способами расчета их длин разобраться удалось. Теперь остается изучить несколько ключевых свойств рассматриваемых элементов в геометрии:

1. Коммутативность: a + b = b + a.
2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c).
3. Использование нейтрального элемента по сложению. Это свойство является очевидным: a + 0 = a.
4. Использование нейтрального элемента по умножению (числа, равного единице). Соответствующее свойство является очевидным и не имеет никаких геометрических преобразований: 1* a = a.
5. При сложении любого ненулевого «направленного отрезка» на противоположный ему получится нулевой: a + (-a) = 0.
6. Сочетательное свойства умножения (k * k1) * a = k * (k1 * a), где k и k1 – это целые произвольные числа.
7. Первое распределительное свойство (k + k1) * a = k * a + k1 * a.
8. Второе распределительное свойство k * (a + b) = k * a + k * b.

Основные понятия, связанные с векторами и их длинами, а также свойствами и ключевыми операциями изучены. Лучше разобраться с рассматриваемым направлением, а также научиться применять его в разработке и других областях деятельности помогут дистанционные компьютерные курсы.

Они рассчитаны на срок от нескольких месяцев до года. В процессе обучения, которое полностью организовано через Интернет, пользователям помогут сформировать портфолио по выбранному направлению и получить богатый практический опыт. В конце учебы каждый получит электронный сертификат, подтверждающий приобретенные знания и навыки. Весь образовательный процесс сопровождается кураторством опытных специалистов.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!