{"id":3387,"date":"2026-09-20T05:34:37","date_gmt":"2026-09-20T05:34:37","guid":{"rendered":"https:\/\/otus.ru\/journal\/?p=3387"},"modified":"2026-09-25T15:42:23","modified_gmt":"2026-09-25T15:42:23","slug":"matricy-i-uravneniya-chto-nuzhno-znat-dlya-ih-resheniya","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/otus.ru\/journal\/matricy-i-uravneniya-chto-nuzhno-znat-dlya-ih-resheniya\/","title":{"rendered":"\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439: \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f"},"content":{"rendered":"

\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/strong> — \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0438\u0437 m \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u0438 n \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432; \u043d\u0430\u0434 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043a\u043b\u0430\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0439 — \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/strong> (\u0421\u041b\u0423), \u0433\u0434\u0435 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434\u0430 a1x1 + a2x2 + … = b \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u043d\u044b \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c A\u00b7X = B. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0413\u0430\u0443\u0441\u0441, \u041a\u0440\u0430\u043c\u0435\u0440, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439) \u0441 \u043a\u043e\u0434\u043e\u043c \u043d\u0430 Python.<\/p>\n

\n

\u0421\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u043d\u0438\u0435<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. \u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438: \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0443\u043c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u041b\u0423<\/a><\/li>\n
  2. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/a><\/li>\n
  3. \u0422\u0440\u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/a><\/li>\n
  4. \u0413\u0434\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \/ \u0441\u0432\u044f\u0437\u044c \u0441 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u043e\u0439<\/a><\/li>\n
  5. \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434\u044b<\/a><\/li>\n
  6. FAQ<\/a><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

    \u0421\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0440\u0430\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u043d\u0435 \u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u0440\u0435\u0447\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438. \u0421\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/strong> — \u044d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b x1, x2, …, xn; \u0435\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 — \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b. \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong> — \u044d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0438\u0434\u0430 A\u00b7X = B, \u0433\u0434\u0435 A, B, X \u0441\u0430\u043c\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438, \u0438 \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 X. \u041a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0421\u041b\u0423 — \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u0433\u0434\u0435 X \u0438 B \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n

    \u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438: \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0443\u043c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u041b\u0423<\/h2>\n

    \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b, \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439. \u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 m\u00d7n; \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 — \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0442\u043e\u0433\u043e \u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430. \u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e k \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u043e \u0434\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n

    \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 A\u00b7B \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 A \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0443 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a B. \u042d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u0432 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0435 i \u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0435 j — \u044d\u0442\u043e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 i-\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0438 A \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b j-\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 B. \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0443\u0442\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0441 \u043f\u043e\u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c: \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0438 \u0432 numpy \u0443 \u043d\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u044b.<\/p>\n

    import<\/span> <\/span>numpy<\/span> <\/span>as<\/span> <\/span>np<\/span>\n\nA<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([[<\/span>1<\/span>,<\/span> 2<\/span>],<\/span> [<\/span>3<\/span>,<\/span> 4<\/span>]])<\/span>\nB<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([[<\/span>5<\/span>,<\/span> 6<\/span>],<\/span> [<\/span>7<\/span>,<\/span> 8<\/span>]])<\/span>\n\nprint<\/span>(<\/span>\"A + B =\\n\"<\/span>,<\/span> A<\/span> +<\/span> B<\/span>)<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"A @ B (\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435) =\\n\"<\/span>,<\/span> A<\/span> @<\/span> B<\/span>)<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"A * B (\u043f\u043e\u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e) =\\n\"<\/span>,<\/span> A<\/span> *<\/span> B<\/span>)<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"A.T (\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435) =\\n\"<\/span>,<\/span> A<\/span>.<\/span>T<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\n
    \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434:<\/p>\n
    A + B =\n [[ 6  8]\n [10 12]]\nA @ B (\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435) =\n [[19 22]\n [43 50]]\nA * B (\u043f\u043e\u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e) =\n [[ 5 12]\n [21 32]]\nA.T (\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435) =\n [[1 3]\n [2 4]]\n<\/code><\/pre>\n
    \u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 @<\/code> \u0434\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 *<\/code> — \u043f\u043e\u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e\u0435. \u042d\u0442\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043d\u043e\u0432\u0438\u0447\u043a\u043e\u0432: A * B<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u043d\u0435 \u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u043e\u0439, \u0430 \u043c\u043e\u043b\u0447\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e. \u0422\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 A.T<\/code> \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0438 \u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0438\u0441\u044c\u043c\u0435 \u043a\u0430\u043a A \u0441 \u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u0438\u043c \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c T.<\/p>\n
    \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/h2>\n
    \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c<\/strong> (\u0434\u0435\u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430\u043d\u0442, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f |A| \u0438\u043b\u0438 det A) — \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b. \u0414\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b 2\u00d72 \u043e\u043d \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d a11\u00b7a22 — a12\u00b7a21. \u0414\u043b\u044f 3\u00d73 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u043e\u0432 (\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0421\u0430\u0440\u0440\u044e\u0441\u0430), \u0430 \u0434\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435, \u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e — \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u0443 \u0436\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u0443 \u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430.<\/p>\n
    \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0432\u0430\u0436\u0435\u043d \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0435: \u043e\u043d \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u0442\u044c \u043b\u0438 \u0443 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 |A| \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0443 \u043d\u0435\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/strong> A^(-1), \u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 A\u00b7X = B \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 |A| = 0, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0430, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0443 \u043d\u0435\u0435 \u043d\u0435\u0442, \u0430 \u0443 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043b\u0438\u0431\u043e \u043d\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043b\u0438\u0431\u043e \u0438\u0445 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e.<\/p>\n
    \u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 A^(-1) — \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430, \u0447\u0442\u043e A\u00b7A^(-1) = A^(-1)\u00b7A = E, \u0433\u0434\u0435 E — \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 (\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0430 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0438, \u043d\u0443\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0435 \u0435\u0435). \u042d\u0442\u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430: \u0434\u043b\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 a \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f 1\/a, \u0438 a\u00b7(1\/a) = 1. \u0423\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e: \u043a\u0430\u043a 1\/a \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 a \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0442\u0430\u043a A^(-1) \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 |A| \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n
    import<\/span> <\/span>numpy<\/span> <\/span>as<\/span> <\/span>np<\/span>\n\nA<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([[<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>],<\/span>\n              [<\/span>-<\/span>3<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>,<\/span> 2<\/span>],<\/span>\n              [<\/span>-<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> 2<\/span>]],<\/span> dtype<\/span>=<\/span>float<\/span>)<\/span>\n\nprint<\/span>(<\/span>\"det A =\"<\/span>,<\/span> round<\/span>(<\/span>np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>det<\/span>(<\/span>A<\/span>),<\/span> 6<\/span>))<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"A^-1 =\\n\"<\/span>,<\/span> np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>inv<\/span>(<\/span>A<\/span>))<\/span><\/code><\/pre>\n
    \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434:<\/p>\n
    det A = -1.0\nA^-1 =\n [[ 4.  3. -1.]\n [-2. -2.  1.]\n [ 5.  4. -1.]]\n<\/code><\/pre>\n
    \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d -1 (\u043d\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044e), \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u0441 \u044d\u0442\u043e\u0439 A \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043d\u043e.<\/p>\n
    \u0422\u0440\u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439<\/h2>\n
    \u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0441\u043a\u0432\u043e\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u0441\u044e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e — \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u0438\u0437 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n
    2x +  y -  z =  8\n-3x -  y + 2z = -11\n-2x +  y + 2z = -3\n<\/code><\/pre>\n
    \u0412 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u044d\u0442\u043e A\u00b7X = B, \u0433\u0434\u0435 A — \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 (\u0442\u0430 \u0441\u0430\u043c\u0430\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0432\u044b\u0448\u0435), X — \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 (x, y, z), B — \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 (8, -11, -3). \u041d\u0438\u0436\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 X. \u041a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c — \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438; \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434<\/th>\n\u0418\u0434\u0435\u044f<\/th>\n\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0431\u0440\u0430\u0442\u044c<\/th>\n\u041e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430<\/td>\n\u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043a \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0438\u0434\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445<\/td>\n\u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439, \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440, \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a<\/td>\n\u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438<\/td>\n<\/tr>\n
    \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434<\/td>\nX = A^(-1)\u00b7B \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443<\/td>\n\u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c, \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 A<\/td>\n\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043d\u0435\u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f A<\/td>\n<\/tr>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u041a\u0440\u0430\u043c\u0435\u0440\u0430<\/td>\n\u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 xi \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439<\/td>\n\u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b, \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b (2×2, 3×3)<\/td>\n\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430<\/h3>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430<\/strong> — \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445: \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043a \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0438\u0434\u0443 (\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0445\u043e\u0434), \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445 (\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430). \u042d\u0442\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434; \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043e\u043d \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 numpy.linalg.solve<\/code>. \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432\u0440\u0443\u0447\u043d\u0443\u044e, \u0441 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 — \u044d\u0442\u043e \u0437\u0430\u0449\u0438\u0449\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u0430\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/p>\n
    def<\/span> <\/span>gauss<\/span>(<\/span>A<\/span>,<\/span> b<\/span>):<\/span>\n    n<\/span> =<\/span> len<\/span>(<\/span>A<\/span>)<\/span>\n    # \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430: \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b + \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432<\/span>\n    M<\/span> =<\/span> [<\/span>row<\/span>[:]<\/span> +<\/span> [<\/span>b<\/span>[<\/span>i<\/span>]]<\/span> for<\/span> i<\/span>,<\/span> row<\/span> in<\/span> enumerate<\/span>(<\/span>A<\/span>)]<\/span>\n    for<\/span> col<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>n<\/span>):<\/span>\n        # \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440: \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0439 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0432 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u0435<\/span>\n        pivot<\/span> =<\/span> max<\/span>(<\/span>range<\/span>(<\/span>col<\/span>,<\/span> n<\/span>),<\/span> key<\/span>=<\/span>lambda<\/span> r<\/span>:<\/span> abs<\/span>(<\/span>M<\/span>[<\/span>r<\/span>][<\/span>col<\/span>]))<\/span>\n        if<\/span> abs<\/span>(<\/span>M<\/span>[<\/span>pivot<\/span>][<\/span>col<\/span>])<\/span> <<\/span> 1e-12<\/span>:<\/span>\n            raise<\/span> ValueError<\/span>(<\/span>\"\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0430: \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0442\"<\/span>)<\/span>\n        M<\/span>[<\/span>col<\/span>],<\/span> M<\/span>[<\/span>pivot<\/span>]<\/span> =<\/span> M<\/span>[<\/span>pivot<\/span>],<\/span> M<\/span>[<\/span>col<\/span>]<\/span>\n        # \u043e\u0431\u043d\u0443\u043b\u044f\u0435\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430<\/span>\n        for<\/span> r<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>col<\/span> +<\/span> 1<\/span>,<\/span> n<\/span>):<\/span>\n            factor<\/span> =<\/span> M<\/span>[<\/span>r<\/span>][<\/span>col<\/span>]<\/span> \/<\/span> M<\/span>[<\/span>col<\/span>][<\/span>col<\/span>]<\/span>\n            for<\/span> c<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>col<\/span>,<\/span> n<\/span> +<\/span> 1<\/span>):<\/span>\n                M<\/span>[<\/span>r<\/span>][<\/span>c<\/span>]<\/span> -=<\/span> factor<\/span> *<\/span> M<\/span>[<\/span>col<\/span>][<\/span>c<\/span>]<\/span>\n    # \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430 \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445<\/span>\n    x<\/span> =<\/span> [<\/span>0.0<\/span>]<\/span> *<\/span> n<\/span>\n    for<\/span> i<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>n<\/span> -<\/span> 1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>):<\/span>\n        s<\/span> =<\/span> sum<\/span>(<\/span>M<\/span>[<\/span>i<\/span>][<\/span>j<\/span>]<\/span> *<\/span> x<\/span>[<\/span>j<\/span>]<\/span> for<\/span> j<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>i<\/span> +<\/span> 1<\/span>,<\/span> n<\/span>))<\/span>\n        x<\/span>[<\/span>i<\/span>]<\/span> =<\/span> (<\/span>M<\/span>[<\/span>i<\/span>][<\/span>n<\/span>]<\/span> -<\/span> s<\/span>)<\/span> \/<\/span> M<\/span>[<\/span>i<\/span>][<\/span>i<\/span>]<\/span>\n    return<\/span> x<\/span>\n\nA<\/span> =<\/span> [[<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>3<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>,<\/span> 2<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> 2<\/span>]]<\/span>\nb<\/span> =<\/span> [<\/span>8<\/span>,<\/span> -<\/span>11<\/span>,<\/span> -<\/span>3<\/span>]<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>gauss<\/span>(<\/span>A<\/span>,<\/span> b<\/span>))<\/span><\/code><\/pre>\n
    \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434 (\u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441 \u043f\u043b\u0430\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e 3 \u0438 -1 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f):<\/p>\n
    [2.0, 3.0000000000000004, -0.9999999999999999]\n<\/code><\/pre>\n
    \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c x = 2, y = 3, z = -1. \u0412\u0435\u0442\u043a\u0430 \u0441 ValueError<\/code> \u043d\u0435 \u0434\u0430\u0441\u0442 \u0432\u044b\u0434\u0430\u0442\u044c \u043c\u0443\u0441\u043e\u0440 \u0437\u0430 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439: \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043e\u043a \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0447\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n
    \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434<\/h3>\n
    \u0415\u0441\u043b\u0438 A \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0438 \u043d\u0435\u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f A\u00b7X = B \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u043d\u0430 A^(-1). \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f A^(-1)\u00b7A\u00b7X = A^(-1)\u00b7B, \u0430 \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 A^(-1)\u00b7A = E \u0438 E\u00b7X = X, \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d X = A^(-1)\u00b7B. \u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0430\u0436\u0435\u043d: \u0434\u043b\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f X\u00b7A = B \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0434\u043e \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430, \u0438 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 X = B\u00b7A^(-1); \u0434\u043b\u044f A\u00b7X\u00b7B = C \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 X = A^(-1)\u00b7C\u00b7B^(-1).<\/p>\n
    import<\/span> <\/span>numpy<\/span> <\/span>as<\/span> <\/span>np<\/span>\n\nA<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([[<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>3<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>,<\/span> 2<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> 2<\/span>]],<\/span> dtype<\/span>=<\/span>float<\/span>)<\/span>\nB<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([<\/span>8<\/span>,<\/span> -<\/span>11<\/span>,<\/span> -<\/span>3<\/span>],<\/span> dtype<\/span>=<\/span>float<\/span>)<\/span>\n\nX<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>inv<\/span>(<\/span>A<\/span>)<\/span> @<\/span> B<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"X =\"<\/span>,<\/span> X<\/span>)<\/span>\n# \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 solve \u0442\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435 \u0438 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u044f\u0432\u043d\u0430\u044f inv:<\/span>\nprint<\/span>(<\/span>\"solve =\"<\/span>,<\/span> np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>solve<\/span>(<\/span>A<\/span>,<\/span> B<\/span>))<\/span><\/code><\/pre>\n
    \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434:<\/p>\n
    X = [ 2.  3. -1.]\nsolve = [ 2.  3. -1.]\n<\/code><\/pre>\n
    \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0447\u0442\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043d np.linalg.solve(A, B)<\/code>, \u0430 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b: \u043e\u043d \u0442\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435. \u042f\u0432\u043d\u0430\u044f A^(-1) \u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0430\u043d\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u0430 \u043f\u043e \u0441\u0435\u0431\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0430\u044e\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0441 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 A \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 B.<\/p>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u041a\u0440\u0430\u043c\u0435\u0440\u0430<\/h3>\n
    \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u041a\u0440\u0430\u043c\u0435\u0440\u0430<\/strong> \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438: xi = det(Ai) \/ det(A), \u0433\u0434\u0435 Ai \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 A \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u043e\u0439 i-\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 B. \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u0438 \u0443\u0434\u043e\u0431\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c 2\u00d72 \u0438 3\u00d73, \u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0435\u0432\u044b\u0433\u043e\u0434\u0435\u043d: \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0434\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043a\u043e\u0434\u0435 \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430.<\/p>\n
    import<\/span> <\/span>numpy<\/span> <\/span>as<\/span> <\/span>np<\/span>\n\nA<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([[<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>3<\/span>,<\/span> -<\/span>1<\/span>,<\/span> 2<\/span>],<\/span> [<\/span>-<\/span>2<\/span>,<\/span> 1<\/span>,<\/span> 2<\/span>]],<\/span> dtype<\/span>=<\/span>float<\/span>)<\/span>\nB<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>array<\/span>([<\/span>8<\/span>,<\/span> -<\/span>11<\/span>,<\/span> -<\/span>3<\/span>],<\/span> dtype<\/span>=<\/span>float<\/span>)<\/span>\n\ndet<\/span> =<\/span> np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>det<\/span>(<\/span>A<\/span>)<\/span>\nx<\/span> =<\/span> []<\/span>\nfor<\/span> i<\/span> in<\/span> range<\/span>(<\/span>A<\/span>.<\/span>shape<\/span>[<\/span>1<\/span>]):<\/span>\n    Ai<\/span> =<\/span> A<\/span>.<\/span>copy<\/span>()<\/span>\n    Ai<\/span>[:,<\/span> i<\/span>]<\/span> =<\/span> B<\/span>          # \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c i-\u0439 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u043d\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0447\u043b\u0435\u043d\u044b<\/span>\n    x<\/span>.<\/span>append<\/span>(<\/span>np<\/span>.<\/span>linalg<\/span>.<\/span>det<\/span>(<\/span>Ai<\/span>)<\/span> \/<\/span> det<\/span>)<\/span>\nprint<\/span>([<\/span>round<\/span>(<\/span>v<\/span>,<\/span> 6<\/span>)<\/span> for<\/span> v<\/span> in<\/span> x<\/span>])<\/span><\/code><\/pre>\n
    \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434:<\/p>\n
    [2.0, 3.0, -1.0]\n<\/code><\/pre>\n
    \u0412\u0441\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0434\u0430\u043b\u0438 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 (2, 3, -1) — \u044d\u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0431\u044b det \u0431\u044b\u043b \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u041a\u0440\u0430\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044f\u043b\u043e \u0431\u044b \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b, \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b \u0432\u044b\u0440\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u0445 \u0432\u044b\u0448\u0435.<\/p>\n
    \u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f<\/h3>\n
    \u0415\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430. \u0422\u0438\u043f\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043f\u0442\u043e\u043c\u044b \u0438 \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442:<\/p>\n